CONSTRUCTION DES RACINES DUNE ÉQUATION

108. I. On peut toujours obtenir les racines réelles d'une équation du quatrième ou troisième degré par l'intersection d'une parabole donnée et d'une circonférence.

Soit l'équation du quatrième degré, privée de son second terme, comme cela peut toujours se supposer,

(i) x* -\- px* +■ qx •+■ r= o,

et représentons par

(s) .r*=zay

THÉORIE DBS COURBBS PLANES. 3 2 3

la parabole donnée, ce qui fait que l'équation (t) devient

(3) tf 3 / a 4- /mt'H- qx H- *•= o.

En multipliant l'équation (2) par le coefficient indéterminé X , et ajoutant avec l'équation (3), on a

(4) «\r'-f- (/?-*->) ** *f- qx + r=a\y.

Si l'on pose

/? -|- X = a*, du \ = a 2 — /? ,

cette équation deviendra celle d'une circonférence

ay {à 1 — p) = a'j* +• A* *' -h #x -h r,

dont l'intersection avec la parabole déterminera les racines cherchées.

Quant à l'équation du troisième degré

.r 3 •+- px ■+- q = o , '

on y introduit une racine nulle, en multipliant par x le premier membre , ce qui donne

X* + /WC'-b 0# = O,

et l'on rentre ainsi dans le cas précédent.

Les problèmes qui ont pour objet de trouver le côté d'un cube double d'un cube donné, de diviser un angle donné en troià parties égales, d'insérer deux moyennes géométriques entre deux droites données, se résolvent simplement par l'intersection d'une parabole donnée et d'un cercle, parce qu'ils conduisent à des équations du troisième degré.

II. La construetiota des courbes facilite beaucoup la résolution

des équations transcendantes.

Soit en général

une équation quelconque, X étant l'ensemble des termes positifs et X' celui des termes négatifs, et posons

on aura

ai .

pour tous les points dans lesquels y = y' 9 c'est-à-dire que les racines de l'équation

seront données par les intersections des courbes qui ont pour équations

j = X et y = X\

Considérons, par exemple, l'équation

sinx -+- \x = i,

que nous pouvons mettre sous la forme

\x — (i — sina:) ==o,

ce qui nous donne à construire les courbes représentées par les équations

y = \x et y = 1 — sinx.

« Ces courbes ne sont autre chose que la logarithmique et la sinusoïde, déjà traitées au n° 107 ; on voit ici combien il est important de tracer les courbes avec exactitude , au moyen des tangentes et des rayons de courbure. Seulement, pour la sinusoïde, \\ faudra transporter l'origine à une distance égale à l'unité, et renverser la courbe, ce qui ne changera rien à sa forme.

La réunion de ces deux courbes {fig. ^5) fait donc connaître

les points À, A', À" qui correspondent aux trois racines de l'équation donnée; il n'en existe pas d'autres, car l'ordonnée de la sinusoïde ainsi placée ne peut s'élever au-dessus de y = 2 , et la logarithmique s'élève au-dessus de cette bande

Fig.

\ji/^/

ir *

qui contient la sinusoïde.

La première racine est donc comprise entre

x = i et x = - ;

THÉORIE DES ttOURBKS PLANES. 3 25

la seconde , entre

et la troisième, entre

Les racines étant donc séparées , on pourra appliquer à chacune d'elles un des procédés connus pour les approximations successives; c'est ce que nous allons faire pour la première.

Nous poserons

x = i-h 6, et l'équation

deviendra

parce que de même

sin x -+- 1 x = i

sin i ■+- c cos i -+- • = i ,

coss = i et sin s = <;

pour c très-petit.

Nous pourrions développer

sin i = i =: -+-..., cos = i 1 r— 7 — .... ;

mais il vaut mieux chercher l'expression a en degrés de l'angle tel , que le rapport de l'arc correspondant au rayon soit l'unité. Nous aurons donc

En retranchant 10 des logarithmes trouvés dans la Table, on aura

L sin 1 = 1 ,9250394 et Lcos i = i ,7326362.

3a6 CHAPITIK SBPTliMK.

On en conclura

ou à peu près

Pour avoir une nouvelle approximation , posons

a = |,i et x == a ■+- i / .

Afin d'introduire cette expression dans la formule, nous poserons

l(a + t') = l.a(i -hÇ\ =te + /(i + î^ f ou bien , comme

puisque *' est très-petit , nous aurons enfin

/(a + i') = /flH

Soit a le nombre de degrés correspondant à l'angle ou à l'arc a, nous trouverons, comme ci- dessus,

a' s 63° i' 3i", ce qui donne

L sin a = i ,9499785 et L cosa = \ ,6566706.

Quant à trouver la, nous remarquerons qu'il s'agit dans la formule de logarithmes hyperboliques. Il n'est pas nécessaire d'en avoir une Table, il suffit de connaître celui de 10, qui est

et Ton aura

la s= La./ 10.

Comme

La = 0,0413927,

on a

la = 0,095311.

On a d'ailleurs trouvé

sin a =0,891207 et cos a = 0,453597 ;

d'où Ton tire

, o t oi3482