MULTIPLICATION

115. I. Quand on multiplie deux nombres décimaux par la méthode ordinaire , les dernières décimales, celles qui ne doivent pas être conservées dans les calculs d'approximation , parce qu'elles sont inutiles ou inexactes , sont celtes qu'on obtient les premières ; on est donc forcé ainsi d'écrire plusieurs chiffres qui ne servent à rien. Voici la règle due à Oughtred pour faire la

multiplication sans écrire au produit plus de chiffres qu'on n'en veut calculer.

Cette règle est connue sous le nom de multiplication abrégée.

Si nous cherchons à o , ooo i près le produit des deux nombres 763,05403678956 et 25,4463o578, pour éviter le calcul du produit exact, qui serait 19416,9063468085132716588, observons d'abord qu'il faut calculer les cent-millièmes, afin d'avoir les dix-millièmes.

Ensuite, écrivez le chiffre des unités du multiplicateur sous celui des chiffres du multiplicande que l'on veut calculer le dernier au produit , et renversez à droite et à gauche les chiffres du multiplicateur. Dans le produit correspondant à chaque chiffre du multiplicateur, négligez les chiffres du multiplicande restés à droite, parce qu'ils donneraient des unités d'un ordre inférieur.

Voici comment on dispose le calcul :

De cette façon, chaque chiffre du multiplicande donnera des cent-millièmes avec le chiffre qui lui est verticalement inférieur dans le multiplicateur: voilà pourquoi, dans le produit correspondant à chaque chiffre du multiplicateur, on doit négliger les chiffres du multiplicande laissés à droite, puisqu'ils donneraient des millionièmes et des quantités plus petites.

Cependant il faudra conserver les retenues que chaque chiffre

pourra donner avec la partie négligée du multiplicande, car les retenues des millionièmes sont des cent-millièmes. Il faut même forcer le chiffre de cette retenue, s'il est suivi d'un 5 ou d'un chiffre plus considérable.

Par exemple, si nous considérons le premier chiffre 2 du multiplicateur, nous verrons facilement qu'il donne le chiffre 1 pour retenue avec la partie négligée 78956 du multiplicande, mais que ce chiffre serait suivi d'un autre au moins égal à 5 ; on doit donc prendre 2 pour retenue et l'ajouter au produit de 6 par 2, ce qui fait i4- On opère toujours de même; mais il suffit d'ordinaire de considérer le premier des chiffres négligés au multiplicande pour avoir ces retenues , que l'on appelle retenues supplémentaires.

Enfin, le chiffre 8 du multiplicateur donne lui-même un produit, quoiqu'il n'ait pas de chiffre au-dessus de lui dans le multiplicande, mais sa retenue supplémentaire, qui est 6, doit figurer -au produit ; seulement , s'il y avait des chiffres à la gauche de 8 dans le multiplicateur renversé , on les négligerait complètement.

Le produit approché est donc i ç/\ 1 6 , 90634 , ou plutôt, en supprimant le dernier chiffre dont on n'est pas sûr, on trouve 19416,9063, avec l'approximation demandée, qui est 0,0001.

II. Il peut arriver que le multiplicateur n'ait pas de chiffres entiers; alors on remplace par un zéro le chiffre des unités, pour garder sa place.

La règle énoncée ci-dessus peut encore s'exprimer ainsi :

Mettez les plus hantes unités de l'un des facteurs en ligne verticale avec celui des chiffres de V autre facteur qui, multiplié par ces unités, donne le chiffre de l'ordre qu'on veut calculer, puis renversez les chiffres du multiplicateur à droite et à gauche.

Il est clair que, si la condition pour l'ordre du dernier chiffre du produit est remplie quand on considère, par exemple, les plus hautes unités du multiplicande comparées au chiffre correspondant du multiplicateur, elle sera également remplie si Ton considère les plus hautes unités du multiplicateur comparées au chiffre correspondant du multiplicande. On conclut de là que l'on ne change rien à l'approximation du produiten interverlissant l'ordre

des facteurs, pourvu qu'on cherche toujours à calculer le même ordre de décimales. On pourra néanmoins trouver quelque différence dans le dernier chiffre, qui dépend de la manière dont se disposent les retenues supplémentaires, et qui , du reste, doit être effacé comme incertain, sauf à forcer, s'il y a lien, le dernier chiffre conservé.

Voici comment on peut vérifier le produit déjà obtenu , en intervertissant Tordre des facteurs et suivant toujours la même règle.

Ce nouveau produit ne diffère du précédent que par le dernier chiffre, qui est un 5, au lieu d'un 4»

III. Ce dernier chiffre , que l'on calcule pour l'effacer ensuite, peut quelquefois être exact, mais souvent aussi il est trop grand ou trop petit quand les erreurs des produits partiels sont de même sens et s'ajoutent par conséquent. Après avoir forcé plusieurs retenues supplémentaires, on néglige quelquefois d'en forcer d'autres, pour ne pas avoir trop de nombres en excès.

Du reste, Terreur de chaque produit partiel élant plus petite que o,ooooo5 (dans Texemple précédent), il faudrait qu'elle fût multipliée par un nombre plus grand que 20, pour égaler 0,000.1 et atteindre, par conséquent , le chiffre des dix-millièmes que Ton veut conserver.

On obtient donc le résultat suivant, analogue à celui que nous avons trouvé pour l'addition :

S'il n'y a pas plus de vingt produits partiels, il suffit de calculer un chiffre de plus qu'un n*en vent conserver; sinon il en faudrait deux de plus.

On voit d'ailleurs que le nombre des produits partiels peut être inférieur à celui des chiffres du multiplicateur. C'est ce qui a lieu dans la dernière opération (II), où les chiffres 65g8, placés à la gauche du multiplicateur renversé, ne servent à rien dans le produit (*).

IV. Nous rappellerons encore que le procédé de la multiplication abrégée n'empêche nullement l'usage de la simplification em* ployée dans les calculs où Ton a beaucoup de nombres à multiplier successivement par un même facteur, et qui consiste à former d'avance le produit de ce multiplicande constant par les neuf chiffres ; il suffira de prendre pour chaque chiffre multiplicateur la partie seule qui lui correspond d'après son rang, sauf à tenir compte du reste du produit pour la retenue supplémentaire. C'est ce que nous avons fait (48) en calculant les Tables de logarithmes; le multiplicande constant était le module.

V. On comprend que les facteurs donnés ne permettent pas toujours de trouver le produit avec toute l'approximation que l'on pourrait désirer. Il faut donc chercher à déduire du procédé même de la multiplication abrégée l'approximation dont le produit est susceptible.

Nous commencerons par indiquer les signes auxquels on reconnaît qu'il est impossible d'obtenir toute l'approximation demandée.

Supposons qu'on veuille calculer les centièmes dans le produit de 345,6738 par 3754 >82. D'après la règle d'Oughtred, il faudra écrire les nombres de la manière suivante :

( * ) Le produit de deux facteurs est généralement plus approché quand les erreurs de chacun d'eux sont de sens opposé , car elles exercent alors des influences contraires sur la grandeur du produit. *

Mais l'opération étant ainsi préparée, et chaque chiffre du multiplicateur renversé donnant des centièmes par son produit avec celui des chiffres du multiplicande qui le surmonte , on conçoit que, si le 3 qui termine ce multiplicateur renversé avait un chiffre au-dessus de lui, leur produit donnerait aussi des centièmes, et que, ce chiffre manquant dans le multiplicande, le produit manquera aussi des centièmes qui s'y seraient trouvés si l'on avait connu dans le multiplicande le chiffre qui suit le 8. Par conséquent, on ne pourra pas calculer tous les centièmes, parce que le multiplicateur renversé dépasse à droite le multiplicande.

De plus, s'il y avait au multiplicateur renversé deux chiffres avant le i , ces chiffres donneraient encore , avec le 4 et le 3 qui les surmontent, des centièmes qui manqueront au produit. Par conséquent, on ne pourra pas non plus calculer tous les centièmes, parce que le multiplicande dépasse à gauche le multiplicateur renversé.

Dans l'exemple que nous avons pris , les deux conditions d'insuccès se trouvent réunies; mais il est évident qu'une seule suffirait pour empêcher d'obtenir l'approximation demandée. De là nous concluons la règle suivante, qui ne s'applique pas aux facteurs exacts, où il est clair qu'on peut remplacer les chiffres manquants par des zéros.

Les deux facteurs étant disposés suivant la règle d'Oughtred, il est impossible d'obtenir l'approximation demandée : ♦

i°. Lorsque le multiplicateur renversé dépasse à droite le multiplicande, supposé inexact ;

2°. Lorsque le multiplicande dépasse à gauche le multiplicateur renversé, supposé inexact.

Quand l'une de ces deux circonstances ou toutes deux se présentent, il faut reculer vers la gauche le multiplicateur renversé jusqu'à ce qu'il n'en soit plus ainsi. La nouvelle disposition qui en résulte détermine l'approximation possible.

VI. On voit donc que la disposition la plus avantageuse parmi toutes celles qui sont permises, c'est-à-dire celle qui donne toute l'approximation, que l'on peut obtenir, est celle qui réalise les con-

dirions précédentes, mais de manière que, si Von faisait avancer d'un seul rang vers la droite le multiplicateur renversé, tune des conditions cesserait d'étte satisfaite. Ainsi , pour l'exemple déjà traité (I et II), la disposition la plus avantageuse aurait consisté à avancer d'un rang vers la droite le multiplicateur renversé , ce qui aurait permis de calculer les millionièmes. On peut donc établir le principe fondamental suivant :

V erreur du produit est le plus grand des deux produits obtenus en multipliant les plus hautes unités de l'un des facteurs par les plus basses unités de Vautre.

Pour reconnaître Y approximation que Von doit donner aux facteurs, connaissant celle du produit, il faut donc employer la seconde expression de la règle d'Oughtred (II) et chercher la manière la plus avantageuse de satisfaire aux conditions indiquées.

Dans l'exemple où nous avons reconnu l'impossibilité de calculer les centièmes, il faut, pour obtenir toute l'approximation possible, reculer de deux rangs le multiplicateur renversé, ce qui donne, en calculant les unités simples,

Ainsi le produit obtenu, a une dizaine près, mais réellement exact jusqu'aux unités simples , sera 1297943, tandis que le produit exact serait 1 297942 , 897 7 1 6.

Si nous voulions calculer les centièmes dans ce même exemple, la disposition indiquée pour cela (V) montre qu'il faudrait connaître les dix-millièmes du multiplicande ei aussi les dix-millièmes du multiplicateur, pour ne plus laisser de vide ni à droite ni à

gauche. Alors le multiplicande et le multiplicateur renversé se recouvriraient exactement.

VII. On pourrait avoir quelques doutes sur les résultats que nous venons d'obtenir relativement aux erreurs des facteurs et du produit , parce qu'ils semblent dépendre du procédé de la multiplication abrégée; mais il est facile de parvenir aux mêmes résultats indépendamment de tout procédé de calcul.

Soient A et B deux valeurs approchées avec les erreurs S et ^ qui peuvent être positives ou négatives. Le produit réel sera

(A -h $') (B -+- 8) = AB -h BS -f- A<î'-h 88',

tandis que le produit approché sera AB. Donc Terreur du produit sera

en négligeant 88' qui sera évidemment d'un ordre d'unités inférieur à celui de B8 et A 8'.

Supposons, par exemple, que B8 soit la plus grande des deux quantités B8 et A8\ c'est-à-dire le plus grand des produits que Von obtient en multipliant les plus hautes unités de chaque facteur par les plus basses de Vautre' D'après ce que Ton a vu (tiO, VI), Terreur du produit sera représentée par B8. C'est le principe fondamental déjà établi (VI).

Il faut bien comprendre que cette relation

n'est pas une véritable égalité, mais veut seulement dire que s et B8 sont du même ordre de grandeur.

VIII. La même théorie s'étendra sans difficulté au produit de trois ou de plusieurs facteurs.

Dans le produit (A + ^)(B + *') (C -+- 8") de trois facteurs dont A, B, C indiquent les valeurs approchées, et £, 8', 8" les parties que l'on néglige ou que Ton ne connaît pas, Terreur sera

représentée par

AB*"-+- AC<T-4-BC<î,

en négligeant non-seulement 88' 8", mais encore AS" 8', B88" et

APPROXIMATIONS NUMERIQUES, 35g

C W, produits qui seront évidemment d'un ordre inférieur à celui de la plus grande des trois quantités dont nous avons fait la somme. Soit, par exemple, AB£" celte quantité maximum; elle sera prise pour mesure de Terreur qui sera ainsi représentée par le plus grand des trois produits que Von obtient en multipliant deux des facteurs approchés par V erreur de Vautre.

On voit, d'après cela, comment s'obtiendrait la règle suivante . pour le produit de m facteurs :

L'erreur du produit sera représentée par m fois le plus grand des produits que l'on obtient en multipliant m — i facteurs par l'erreur de celui qui reste, c'est-à-dire les plus hautes unités de m — i facteurs par les plus basses de celui qui reste.

Pour plus de sûreté nous multiplions par m, quoique nous n'ayons point multiplié par 2 ou par 3 , quand il ne s'agissait que de deux ou trois facteurs; mais si m était considérable, le nombre des produits pourrait élever Tordre des unités que Ton néglige. En effet, les quantités dont la somme représente Terreur sont en nombre m ; car dans chacune de ces quantités il n'entre que Terreur d'un seul facteur : c'est ainsi que les quantités AB<î", AC à', BC<? étaient au nombre de trois.

IX. Comme application de ce qui vient d'être dit sur le -produit de trois facteurs, nous rappellerons le problème déjà traité (67, IV) sur la correction d'une hauteur barométrique.

Cette correction est donnée par le produit

Le plus grand des trois produits dont se compose Terreur est évidemment celui de o,oooi6i458 par 76,3 et par l'erreur de 18,7. Pour plus de sûreté, nous remplacerons 76,3 par 80, et o,oooi6i458 par 0,0002; quant à Terreur de 18,7, nous la supposerons égale à la moitié de la dernière unité décimale, c'est-àdire à o,o5. Ce produit maximum est donc

Ainsi la correction cherchée sera approchée à un millième près.

36o CHAPITRE HUITIEME.

It faut donc calculer les dix -millièmes en multipliant

o,oooi6i458

par le produit de 76,3 et dei8,7, qui est 1426,81. Voici le tableau de. la multiplication abrégée :

o,oooi6i458 1 86241

En effaçant le chiffre des dix -millièmes , il reste pour correction — o , 23, et la hauteur observée étant 76, 3 , la hauteur corrigée sera 76,07, valeur exacte à un centième et même à un millième près de centimètre , puisque o,a3 est suivi d'un zéro; cela fait donc 1 centième de millimètre (*).

X. Voici enfin une remarque qui s'applique , non-seulement à la multiplication , mais aussi à toutes les opérations approximatives.

Si un nombre entier ou fractionnaire est exactement connu, son erreur S doit être posée égale à zéro, à moins qu'on ne croie pouvoir sans inconvénient supprimer quelques chiffres à la droite

(") On peut demander l'erreur relative correspondante (|H, V). Cette

erreur sera un peu plus grande que • -^ > car la valeur 76,07 est

un peu trop grande, puisque la correction négative — o,?3 a été prise en défaut. Cependant , comme 76 , qui conviendrait pour cette évaluation , est assez près de 100 , on a une idée un peu exagérée , mais assez juste , de l'approximation relative en la considérant comme éffale à •

11 ne faut pas oublier que tout cela exige une confiance complète dans la bonté des instruments, l'adresse des observateurs et la détermination des coefficients de dilatation.

de ce nombre. Mais on commettrait une faute très-grave si Ton considérait comme nulles les erreurs de certains résultats qui sont donnés avec peu de décimales ou même sans décimales , car cette simplicité apparente peut bien ne tenir qu'à l'imperfection nécessaire des moyens d'observation et d'expérience. Ainsi, dans l'exemple ci-dessus , en posant la température égale à i8°,7, il ne s'agissait pas d'une rigueur mathématique, mais cela voulait dire que les fractions inférieures à un dixième de degré étaient trop petites pour se lire sur la règle et même sur le vernier.