I. On a
t = (a -J- S) 2 — à 1 = i ao -+- S*j
en représentant par S et par e les erreurs respectives d'une quantité quelconque et de son carré ; on aura donc , en négligeant S 7 , la relation
i = zad,
entre ces erreurs ou plutôt entre la nature de leurs unités.
Mais nous indiquons seulement cette relation comme pouvant servir à vérifier le principe que nous allons énoncer, et que nous démontrerons par le procédé de la multiplication abrégée.
Une quantité approchée et son carré ont le même nombre de chiffres significatifs exacts.
On conclut facilement des relations établies (115, VI) entre l'erreur du produit et celles des facteurs, que, si l'on doit multiplier deux facteurs qui ont le même nombre de chiffres significatifs, la méthode la plus avantageuse consiste à les disposer de manière qu'ils se recouvrent exactement , puisque alors il n'y aura pas de chiffres perdus dans les facteurs. Ainsi , on obtiendra le carré d'un nombre avec la plus grande approximation possible , par la méthode abrégée, si Ton fait en sorte que ce nombre, pris comme «multiplicande, recouvre le même nombre pris comme multiplicateur et renversé.
Cela posé, il peut se présenter deux cas : dans le premier, le produit a autant de chiffres que le multiplicande , comme l'indique le principe énoncé ; c'est ce qui arrive , par exemple, si Ton
fait le carré de 2 ,23, ce qui donne te calcul suivant :
4,98 au lieu de 4*9729
Dans le second cas , le produit a un chiffre de plus que le multiplicande si les chiffres supérieurs donnent une retenue; c'est ce qui arrive quand on cherche le carré de 76,4*
' 5836 au lieu de 5836,96.
Mais la formule
montre que Terreur atteint alors un chiffre de plus. En effot , pour que 6 soit d'un ordre plus élevé que S , il faut que Ton ait 2 a ^> 10 , et Ton reconnaît sans peine que c'est ce qui arrive si la racine a est de nature à donner un chiffre de retenue à son carré. On peut donc conclure, d'une manière générale , le principe énoncé. A la vérité, le dernier chiffre de la racine étant exact, celui du carré peut bien ne pas l'être, comme on le voit dans les exemples précédents, on le dernier chiffre du produit est tantôt trop fort, tantôt trop faible ; mais c'est ce qui peut avoir lieu dans tous les calculs, et il en serait de même si Ton cherchait réciproquement la racine carrée d'une quantité quelconque.
II. On remarquera , d'après ce principe , que des tranches de zéros prises à la droite d'un nombre peuvent quelquefois donner à sa racine les mêmes chiffres que donneraient , si on les connaissait , les véritables décimales du nombre proposé.
3^4 CHAMTBE HUITIÉITE.
C'est ce qui a Heu quand on cherche la racine carrée de
donné avec quatre décimales : on trouve d'abord un chiffre entier et deux chiffres décimaux; ensuite, pour avoir les deux chiffres suivants , il faudra abaisser encore deux tranches de zéros qui conduiront au même résultat que les véritables décimales du nombre ir , si on les avait employées.
On trouve, de cette manière,
yÇ = 1,7724;
mais nous nous sommes dispensés d'écrire le calcul , qui n'exige aucun procédé particulier.
Cherchons encore la racine carrée de o, 00047805 ; on doit, avant tout, reconnaître la nature des plus hautes unités de la racine , qui seront ici des centièmes , puisque le premier chiffre du nombre est celui des dix-millièmes; on trouvera donc , pour la racine cherchée, 0,021864% à un millième près, en abaissant encore deux tranches de zéros.
III. Le principe connu (I) nous permettra de résoudre le problème suivant :
Trouver l'approximation de la racine carrée quand on connaît telle du nombre.
On cherchera cette racine avec autant de chiffres qu'il y en a dans le nombre , dut- on abaisser plusieurs tranches de zéros ; seulement , d'après la nature des unités supérieures , l'approximation de la racine sera plus grande ou plus petite que celle du nombre. On résoudra de même le problème inverse , ainsi conçu :
Si ton demande la racine carrée avec une approximation donnée , avec quelle approximation faudra-t-il chercher le nombre?
On le cherchera avec autant de chiffres qu'on doit en avoir à la racine.
Si néanmoins on ne pouvait obtenir ce nombre avec autant de chiffres que cette règle l'exige , on ne pourrait trouver à la racine l'approximation demandée , et il faudrait en revenir au premier
APPROXIMATIONS NUMKRIQUES. 3^5
problème pour déterminer l'approximation possible à la racine , d'après celle où Ton s'arrête dans l'expression du nombre.
IV. En dehors des considérations précédentes , voici un théorème qui permet de simplifier l'extraction de la racine carrée :
Après avoir obtenu par le procédé ordinaire les n premiers chiffres d'une racine carrée , retranchez du nombre donné le carré de ces n premiers chiffres , et divisez ce reste par le double de ces n chiffres, vous aurez pour quotient les n — i chiffres suivants de la racine.
Nous supposerons, comme on peut toujours le faire, que tous ces chiffres forment l'ensemble des chiffres entiers de la racine.
Cela posé, soit N le nombre dont on cherche la racine; soient a la première partie de cette racine , et b la seconde , composée de /i — i chiffres, de sorte que a contient n chiffres significatifs et n — i zéros, en tout 2 n — 1 chiffres. Nous pourrons donc poser
N = (« -f- bY -h r = a} + iab -f- b 7 -+- r.
D'après la règle qu'il faut démontrer, nous devons prendre le
reste
et nous remarquerons que ce reste est connu quand on a opéré p aile procédé ordinaire. On a donc
z=zb-\ ,
la 7.a
et il s'agit d'évaluer la fraction •
ia
Il faut démontrer que cette fraction est toujours inférieure à deux unités. Pour cela, remarquons que le cas le plus défavorable, celui dans lequel r est maximum , a lieu quand 1 + N est le carré de a -+- b -+- 1, puisque N est un nombre entier dont la racine a pour partie entière a -f- b, ce qui donne pour limite extrême
Nous aurons alors
Nacjfl -h b)*-h2(a-+ b),
et, par conséquent,
r = ia -f- 2 b ;
la fraction devient donc
ia
la
Ainsi , cette fraction peut être plus grande que l'unité , mais if faut prouver que l'on a toujours
Pour cela , nous remarquerons que b et b •+- i sont des nombres de n — i chiffres , ce qui fait que ( b -*- i) a en a 2 n — 2 au plus , tandis que dansa , et à plus forte raison dans 2 a, on trouve in — i chiffres.
On peut même faire voir que
2tf 2
En effet, dans le cas le plus défavorable où serait
r 2fl
maximum, il faut concevoir que b présente une série de 9, de sorte que b -f- 1 soit une puissance de 10. Nous prendrons, pour fixer les idées, n = 3 ; alors
b = 99 et & -+- 1 = 1 00 , ce qui donne
(4+l)'= IOOOO.
Alors le minimum de a , pour prendre toujours le cas le plus défavorable, sera
ce qui est le plus petit nombre de 2/1 — 1 = 5 chiffres ; par conséquent ,
(±±2Ï =l , et C + O'-^l a 2« 2
potir limite extrême.
Eu résumé, nous voyons que le quotient est égal à b
JL Cm
ou à b -f- 1 , c'est-à-dire qu'il donnera , en'effet , les n — - 1 chiffres suivants, à une unité près.
Comme application , nous chercherons la racine carrée de 2 avec douze décimales; nous en trouverons d'abord six par le procédé ordinaire :
Nous avons écrit ce calcul pour montrer comment se forme le reste N — fl'=:R, qui est ici 1 59063 1 .
Maintenant , pour disposer la division le plus simplement possible, nous remarquerons que, si nous voulions avoir seulement un chiffre de plus, il faudrait, suivant la méthode ordinaire, abaisser deux chiffres (ici deux zéros) à la suite de 1 59063 1 , et en séparer un, ce qui laisse le nombre 1 5906310, que l'on- doit diviser par le nombre obtenu en ajoutant 3 à 2828423 ; on a ainsi
ia = 2828426,
c'est-à-dire le double de la racine déjà obtenue , qui n'est autre que le diviseur demandé. Ainsi, la seule différence entre le pro-
cédé ordinaire et la division de
la
, c'est que , dans cette der-
nière opération , on cherche n — 1 chiffres au lieu d'un seul , mais le dividende et le diviseur sont les mêmes dans les deux calculs.
Voici le tableau de la division abrégée qui donne ces n — 1 chiffres , ici au nombre de six , puisque nous en avons déjà obtenu sept.
io556
Nous nous.sommes dispensés de former les produits partiels , et nous ayons fait en même temps les multiplications et les soustractions. Nous avons calculé sept chiffres , autant qu'il y en avait au diviseur; mais le dernier chiffre 2 du quotient doit être effacé, et donne seulement à penser que la racine n'a pas été obtenue en excès.
On trouve donc enfin
Si l'on cherchait la racine carrée par les logarithmes , comme on le fait souvent dans la pratique, cette simplification serait beaucoup moins avantageuse, parce qu'il faudrait alors former a* et la retrancher de N, opérations qui sont faites d'avance quand le calcul a été commencé par le procédé ordinaire.
