RACINE CUBIQUE, ETC

116. On trouvera une règle semblable pour obtenir, après les n premiers chiffres d'une racine cubique , les n — 1 suivants. Nous devons commencer par indiquer la manière la plus simple d'extraire une racine cubique , dif moins au point de vue pratique; car il paraîtrait naturel, à chacun des chiffres que Ton obtient , de faire le cube de la racine déjà obtenue , et de le retrancher de l'ensemble des tranches correspondantes : mais , de cette manière, les calculs faits pour un chiffre ne serviraient point pour les suivants, et l'on aurait toujours à revenir aux plus hautes unités du nombre. Il faut donc imiter le procédé de la racine carrée en formant successivement les diverses parties du cube.

Soit à extraire la racine cubique du nombre

on yoit d'abord en le partageant en tranches de trois chiffres de droite à gauche, comme nous l'ayons fait, que la racine aura cinq chiffres et que le premier sera la partie entière de la racine cubique de 32, c'est-à-dire 3 pour 27. La question étant donc ramenée provisoirement à extraire la racine cubique de 32,977, si nous indiquons par a les dizaines et par b les unités de cette racine , nous savons déjà que a = 3o, puisque 3 est le chiffre des dizaines. Retranchons a 3 = 27000 de 32977, il reste 5977, nombre dans lequel il faut chercher

3a'b + 3ab 7 -h b A .

En divisant 5900 par 3« a = 2700, ou 59 par 27, on a pour quotient

on sait, du reste, que ce quotient est quelquefois trop fort pour la racine.

Voici maintenant comment on peut former les autres parties du cube. Posons d'abord

et multiplions ce nombre par b = 2 , ce qui fait

3aft-|-^=i84;

ajoutons 184 avec 3û 2 = 2700, nous avons

3a*+3ab -t-& 2 = 2 884.

Imaginons que l'on multiplie encore cette somme par b = 2, il vient

3a 2 b + 3ab 7 -t- b\

ce qui donne justement le reste du cube. D'ailleurs on n'est pas obligé d'écrire ce produit de 2884 par 2, et Ton peut, à mesure qu'on en trouve les chiffres, les retrancher d« 5977, ce qui donne pour second reste 209.

il est clair qu'alors rsera maximum. On trouve, dans cette supposition ,

N=(a + 6) 3 4-3(«4-^) a + 3(fl + b), ce qui donne

r=3(* -h b)'-h 3(a + b) = 3a*-h6ab + 3b*+-3a -f-3£, et, par suite,

Zab*+b*+r 3a(^ -fi) 2 -»- (^ -hiV — f

On a donc enfin , au maximum ,

<'e qui prouve que Ton peut quelquefois avoir le quotient en excès b -f-i.

Mais, outre cela, nous avons vu, à propos de la question analogue relativement à la racine carrée (145, V}, qu'il est possible,

à la limite extrême, d'avoir = i . Cependant, comme ce

fait est tout à fait exceptionnel , nous le laisserons de côté et nous considérerons qu'en général A + i n'ayant que n — i chiffres, [b -H i) 3 n'en a que in — 2 , tandis que a en a %n — i . A plus forte raison {b H-i) 3 <^ «% donc la dernière fraction est de beaucoup inférieure à l'unité.

On peut donc généralement admettre que les n — i premiers

chiffres du quotient - — 2 donnent pour valeur maximum A-f-i.

De là on conclut la règle suivante:

Soit R le reste obtenu en retranchant du nombre le cube des n premiers chiffres de la racine , et divisez R par le triple carré de cette racine déjà connue; les n — i premiers chiffres du quotient sont les n — i chiffres suivants de la racine.

Nous appliquerons cette règle à l'exemple déjà traité. En cher-

chant la racine cubique de 32. 97 7.340. 21 8. 4^ 2 > nous avons trouvé 320 pour les trois premiers chiffres île la racine, et le reste R, obtenu après avoir soustrait le cube de 3 20 de l'ensemble des trois premières tranches, était 2093402 1 8432. Il faut donc diviser ce nombre par le triple carré de a = 3aooo, c'est-à- dire par 3072000000.

On verrait facilement que le quotient donne des dizaines, comme cela doit être ; mais puisque nous ne cherchons que deux chiffres, ou plutôt trois, afin d'effacer le dernier, il suffira (114, V) de prendre aussi trois chiffres au diviseur, et quatre au dividende. Voici la division abrégée qui donnera les deux chiffres demandés,

On obtient donc exactement les deux chiffres 68 de la racine , mais ce procédé ne fait évidemment pas connaître que le nombre est un cube parfait.

Nous avons vu qu'on trouve souvent ainsi un quotient en excès; on pourra donc quelquefois ne pas forcer le dernier chiffre conservé, même s'il est suivi d'un 5 ou d'un chiffre supérieur à 5.

Enfin on comprend comment cette méthode s'applique à des nombres décimaux.

III. Comme relation entre Terreur s d'un cube ou "d'une puissance quelconque et l'erreur â de sa racine, nous avons la formule

«=(« + tf) 01 — a m ,

dans laquelle m représente l'indice de la puissance et qui se réduit à e = ma8, en supprimant les puissances supérieures de tf.

Connaissant la nature des plus hautes unités de a, on emploie cette formule pour trouver, dans chaque circonstance, la valeur de e en fonction de 9, et réciproquement; ou, pour mieux dire,

la relation qui existé entre lés espèces d'unités de ces deux erreurs. Mais il serait assez difficile d'en conclure une règle applicable à toutes les valeurs de m , pour comparer le nombre des chiffres significatifs exacts de la puissance et de sa racine, parce que, d'un côté, le nombre des chiffres s'accroît d'une manière variable suivant la valeur de m et celle des premiers chiffres (c'est ainsi que 8, cube de % , n'a qu'un chiffre , et que 729, cube de 9, en a trois), et que, de l'autre côté, le coefficient m dans l'expression z = maS augmente l'erreur de la puissance.

IV. Pour comparer les erreurs respectives d'une puissance et de sa racine, quant au nombre des chiffres significatifs exacts, la méthode la meilleure, quoique assez indirecte, consiste dans la considération des logarithmes de ces quantités; on sait, du reste, que les extractions de racines se font presque toujours, dans la pratique , à l'aide des Tables de logarithmes.

Or l'usage de ces Tables montre que le logarithme de la puissance et celui de la racine ont le même nombre de chiffres exacts, et qu'il en est de même , par conséquent, pour ces deux Quantités elles-mêmes. Nous admettons , à la vérité, que les Tables soient calculées avec autant de décimales qu'il en faut pour que le dernier chiffre du nombre donné influence le dernier chiffre du logarithme correspondant ; mais c'est ce qu'il est toujours possible de supposer en théorie, quelle que soit d'ailleurs la véritable approximation des Tables. On peut donc conclure de là que la puissance et sa racine ont le même nombre de chiffres significatifs exacts.

V. Nous devons cependant observer, comme restriction à ce principe, que le calcul par logarithmes donne plus de précision quand on cherche la racine au moyen de la puissance , que si l'on cherche la puissance au moyen de sa racine. En effet , dans le premier cas, on divise le logarithme par l'indice de la puissauce, ce qui diminue l'erreur, tandis que, dans le second, on multiplie par cet indice, ce qui augmente l'erreur.

VI. Dans toutes ces théories d'approximation, nous n'avons presque jamais distingué le cas où l'erreur est , soit en défaut , soit

«n excès; en effet, on n'en sait souvent rien, surtout dans les données de la physique et de la chimie, et nous avons toujours voulu permettre au calculateur d'opérer dans le cas le plus général et le plus défavorable. Aussi, nos formules s'appliquent à toutes les valeurs positives ou négatives des erreurs ou des approximations.