VI. On peut d'après cela calculer l'erreur que Ton commet

quand on prend pour valeur de x une réduite quelconque — f -

Cette erreur est évidemment moindre que la différence entre — ,

et la réduite qui la suit, ~ Or on a vu que cette différence,

abstraction faite du signe, est égale à

R'Q' (Q'r-f.p')Q' 'Souvent on ne connaît pas r, mais comme on sait que r est au moins

égal à l'unité, l'erreur cherchée se représente par - — -

(Q' -h F) Q' Quelquefois on néglige P', et l'on représente Terreur par — •

VII. Enfin , j^ approche de la valeur de x , non-seulement plus que la réduite précédente, mais plus que toute autre fraction — 9 exprimée en termes plus simples. En effet, supposons que

— approche plus de x que —, et, à plus forte raison, que — :

comme .r-est compris entre —, et — , il en sera de même pour

— 5 et Ton devra avoir, abstraction faite du signe, m'

ou bien , à cause de QP' — PQ' = i, cela revient à

pm' — P'/w i

Mais Pm' — P'/w est au moins égal à l'unité, et Ton a supposé /w'<lQ' ; donc l'inégalité précédente est impossible, ce qui démontre le théorème.

19. Maintenant il sera facile de concevoir le parti que Lagrange a pu tirer de ces propriétés.

Soit f[x ) = o une équation dans laquelle les racines sont séparées; nous considérerons seulement les racines positives, car, pour trouver les racines négatives , il suffira de changer x en — x et de calculer les racines positives de la transformée qui seront les racines négatives de la proposée.

Il faut maintenant faire en sorte que les deux nombres qui comprennent la racine cherchée soient deux nombres entiers qui diffèrent entre eux d'une unité. Supposons, pour -fixer les idées, qu'ils diffèrent d'un centième, et que la racine x soit comprise, par exemple, entre

.r, = 3,25 et x 7 = 3,24*

Posons dans l'équation donnée -

x = > d ou » =1000:,

nous aurons une équation transformée /( z ) = o dans laquelle la valeur correspondante à celle de x que Ton cherche sera comprise entre

z, = 325 et Zt = 3^4 ,

et ces deux limites satisferont aux conditions posées, tandis que 3 et 4 pourraient contenir d'autres racines, outre celle que l'on considère.

Nous pouvons donc admettre dorénavant que la racine est seule comprise entre a et a -f- 1 , le nombre a étant entier. Posons donc

x =z a -\- - \ on obtiendra une équation tranformée en j- qui n'aura

qu'une seule racine réelle et positive, puisque l'équation proposée n'avait qu'une seule racine entre a et a -+- 1 . On cherchera les deux nombres entiers b et b -f- 1 qui comprennent cette valeur de jr J

et posant y = b H — 9 . on obtiendra une équation en z sur

laquelle on répétera les raisonnements précédents, ce qui don-

nera

et ainsi de suite. On aura donc

et l'approximation pourra être poussée aussi loin qu'on voudra. De plus , leâ propriétés des réduites permettront d'avoir le signe et la limite de l'erreur.

Cette méthode n'est pas d'ordinaire très-expéditive; cependant, si les quotients incomplets sont considérables , on voit, d'après la formation des réduites et la mesure de Terreur, que l'approximation peut croître assez rapidement.