Prenons pour exemple l'équation

x* — ix — 5 == o

qui n'a qu'une seule racine réelle , comprise entre 2 et 3.

Posant

on a l'équation transformée

y 3 — 1 o y 2 — 6y — 1=0 qui donne

r =io + -,

et, par suite,

On en conclut

d'où l'on tire

équation dont la racine sera encore comprise entre 1 et 2.

En continuant ainsi, on trouve

ro

ce qui donne les réduites suivantes :

i io ii 21 53 74 2 7$ 349

t3i Ainsi ~- est plus grand que la racine, et l'erreur est moindre que

£ ; on peut donc poser

21. Il peut se présenter dans l'emploi de cette méthode un fait remarquable et qui abaisse le degré de l'équation. S'il se trouve, parmi les équations transformées que l'on obtient dans ces approximations successives, une équation identique avec une de celles qu'on a déjà obtenues, il est clair que les mêmes quotients incomplets se répéteront périodiquement , ce qui permettra d'arriver à une approximation indéfinie. Mais de plus on obtiendra la forme même des racines , grâce à ce théorème :

Une fraction continue périodique a pour valeur une racine tTunc\ équation du second degré. *

Considérons d'abord une période simple, c'est-à-dire qui commence au premier quotient incomplet , nous aurons

a+ TT—.

APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. 3j

On sait que — = — — - — , et comme le résultat sera exact en R Q r -h p

remplaçant r par r-h -, puisque la fraction se répète après r, nous aurons

ou bien