VI. costf = cot B cotC

On pourra donc résoudre directement tous les cas possibles.

A moins de faire un usage fréquent de ces formules, il n'est pas toujours facile de se les rappeler. Voici, pour y parvenir, une règle mnémonique donnée par Mauduit.

Mettez les éléments, angles et côtés, à la suite sur les côtés d'un pentagone; seulement prenez les compléments des côtés adjacents à l'angle droit. Alors vous aurez à combiner

(rois côtés consécutifs du pentagone , ou bien deux côtés consécutifs et le troisième opposé k l'un d'eux.

Dans le premier cas , le cosinus de l'élément intermédiaire est égal au produit des cotangentes des deux autres.

Dans le second cas, le cosinus de Vêlement opposé est égal au produit des sinus des deux, autres.

Il est facile de vérifier cette règle en retrouvant les six formules.

Passons maintenant aux triangles quelconques. On calcule par logarithmes la relation

sin A sin B sin C

sin a sin b sin c

Pour calculer les angles d'un triangle sphérique dont on connaît les trois côtés, on a la formule

cos a — cos b cos c

COS A = — : — i — -. j

sin psinc

ainsi que les deux équations analogues.

Mais comme elles ne sont pas calculables par logarithmes, on leur substitue les suivantes, en posant toujours 7.p = a -h b -\- c:

i . /si

sin (p — b) s\n(p — c)

sin - A ■= \ / : — j— -. »

sin b sin c

i * a Am/> sin (p — a)

COS - A = i / : — : — :

2 y sin b sin c

et enfin

1 a . / sm (P— bjsin (p — c) tang-A = i/ f r- 1 -. J — - — >

2 y sin/j sin ( p — a)

formule préférable aux deux premières.

De môme, pour calculer les côtés quand on connaît les angles,

on trouve

cos A -+- cos B cos C

cos a =

sin B sin C

avec les deux relations analogues : de là on conclut les formules

i>4 CHAPITRE TROISIÈME,

calculables par logarithmes :

sin(A-P)

et

. a /sinP

iin r=V/ :

2 y si

sm B sin G

-,. i : sin(B-P)sin(C-P)

sin B sin G

en posant

^ a I sin P sin (A — P) tang- = i / - i - —

°2 y sin(B — P)sin(C — P)

2P = A-hB-+-C — 180 .

Oh passe de l'un à l'autre de ces problèmes par la considération du triangle polaire.

En comparant les formules logarithmiques que nous avons obtenues, on trouve les résultats suivants, connus sous le nom àe formules de Delambre:

sin j(A-f-B) cos|(a — 6 )

cosjC cosjt '

& j n i(A — B) sini(a — &)

cos^C sin je •

cgsj-(AH-B) __cos|(aH- b) sin jC ~~ COS7C '

cosi(A — B) sin\(a + b) sin^C *~ sio±c

Ensuite , divisant la seconde de ces* équations par la quatrième, la première par la troisième , la seconde par la première , et enfin la quatrième par la troisième, il vient

1 / 1 ^x 1 ^ sin 7 (a — b)

tang - (A — B) = cot- G. -^—7-7 771

D 2^ ' 2 sin 7 (a H- é)

tang- (A -h B) = cot-C. \-± .-S