N 1 cos ^ (A — B

& 2 V y ■ b 2 cos-;-(A + B)

Ce sont les formules ou analogies de Nêper : elles achèvent la résolution des triangles sphériques.

Nous n'avons pas fait mention de la formule

cot a sin b = cos b cos C -h sin C cot A ,

qui est susceptible de six permutations. Elle n'est point nécessaire pour obtenir les formules précédentes, et d'ailleurs elle est difficile à retenir et encore plus à calculer par logarithmes.

Soit S la surface d'un triangle sphérique que Ton sait avoir pour valeur

S=A + B + C-ff=2P,

Simon Lhuillier a trouvé la formule suivante :

tang 7 = 1/ tang- tang - tang - tang^

Cela suppose, comme on le sait, que Ton prenne le triangle tri- .rectangle pour unité de surface et l'angle droit pour unité d'angle f).

38. Les formules de la trigonométrie sphérique sont susceptibles de certaines simplifications approximatives quand le rayon de là sphère sur laquelle elles sont tracées est très-grand relativement à la longueur des côtés. Comme c'est ce qui a lieu pour la terre, ces considérations sont très- utiles pour la géodésie.

En effet, il faut bien distinguer le rayon R = io 10 des Tables logarithmiques, et le rayon r de la sphère sur laquelle se trouve le triangle. Du reste, il est facile de les rétablir; ainsi, par exemple, la formule

cos» — cos b cosv

cos A =

sin b sin c

(*) C'est-à-dire que le rapport de Vangle S avec 90 degrés est égal au rapport de la surface cherchée avec celle du triangle trirectangle de la même sphère»

doit être remplacée par celle-ci :

CQS COS - • COS -

cos A =

sin

sin-

e la

sphère,

ou même

cos

coa

\ - cos -

sin

. e sm-

cos A R

si Ton veut faire usage des Tables.

On voit donc que les côtés a , b, c étant exprimés en mètres, if faudra chercher, par la proportion connue, le nombre de degré»

auquel correspondent les rapports -5 -> -> afin de pouvoir appliquer le calcul par logarithmes.

Mais si r est très-grand relativement à ces côtés a, b,c 9 on pourra poser avec une grande approximation

a i fa\* i fa\*

cos - = i ( - ) -i x— 7 - )

r 1.2 \rj i .2.3-4 \ r /

et

. a sin- =

On aura une approximation semblable pour les sinus et cosinus

de- et de -» puisque -? - et - ne sont autre chose que de»

rapports numériques très-petits.

En appliquant ce qui précède à la formule

cos cos - cos -

cos A = ;

sin -«sin -

en arrive au théorème de Legcndrc, ainsi conçu :

FO&MULIS APPROXIMATIVES. 6^

Le triangle sphérique très-peu courbe dont les angles sont A, B, G et les côtés opposés a, b, c, répond toujours à un triangle rectiligne qui a les côtés de même longueur a, b, c, et dont les angles opposés

sont A — ^ e , B — ■=€, C — ô e > e étant l'excès de la somme des

angles du triangle sphérique sur deux angles droits.

On trouvera la démonstration de ce théorème, ainsi que d autres approximations analogues* dans l'appendice qui termine la * Trigonométrie de Legendre.

56. Une des applications les plus importantes de ces formules approximatives dans lesquelles on néglige les termes suffisamment petits consiste dans la recherche des maxima et minima.

Soit

et donnons à la variable .r un accroissement quelconque A a?; la fonction y recevra un accroissement correspondant Aj, qui pourra quelquefois être négatif, même si A x est positif. D'après le développement général de f[x + A.r), nous aurons

r -+- Aj =/(.r) +/'(•*) A* 4- ^-A-i A'.* -+- £-LJ A»* -H /.. X ' v ' 1.2 1.2.3

Comme y =/(.*), il reste

Ly =/' (x) A* + — A - 1 A»* •+■ ±-W A a .r + . . . .

Si A.r est infiniment petit, négligeons son carré et ses puissances supérieures, il reste à la limite

A/ r=y / (.r) àx.

Cette égalité fait voir que la fonction croît avec la variable si f (x) est positif pour la valeur que Ton considère, et décroît, au contraire, quand la variable augmente, si /' (x) est négatif. Mais dans ces deux circonstances, il n'y a ni maximum ni minimum de y* car ày change de signe avec A x y tandis que, si la quantité* donnait pour y une valeur plus grande ou plus petite que celles qui la précèdent et la suivent immédiatement, y croîtrait avant et

après x 9 ou bien diminuerait avant et après x, c'est-à-dire que Ax aurait le même signe pour ±Aar.

Cela est impossible, à moins que Ton n'ait

car, même sans regarder à x et A y comme infiniment petits et sans négliger complètement les puissances supérieures de Ax> on peut concevoir que le premier terme donne son signe à tout le développement.

Supposons donc

il reste N

Ar = ^— U &?x+ J — 4^ +

Ainsi ày aura le même signe pour ±Ax, et il y aura maximum ou minimum suivant le signe de /"(*). Si /" '(*)<o, ày est aussi négatif de part et d'autre de la valeur x> par conséquent y i=f(x) sera maximum pour cette valeur x. Si, au contraire, f" [x) ^> o, ày est positif pour dzàx; donc x rendra minimum la fonction y=f (x).

Tout cela suppose que /" (x) n'est pas nul. Si Ton avait

en même temps que

ce serait maintenant le terme

À a ar -

qui donnerait son signe à la valeur de A/, et comme ce terme change lui-même de signe avec àx, on verrait, en répétant les raisonnements qui précèdent, que la condition cherchée serait

et qu'il y aurait maximum ou minimum d'après le signe de On poursuivrait ainsi jusqu'à ce qu'on trouvât une dérivée qui

FORMULES APPEOXIMATIVZS. 69

ne fat pas nulle; si elles l'étaient toutes, on ne pourrait rien conclure. Nous écartons également le cas dans lequel une ou plusieurs dérivées seraient infinies.

57. Nous venons de considérer les fonctions explicites, c'est-àdire celles qui sont de la forme /=/(x); on peut aussi trouver le maximum ou le minimum de y quand cette fonction est implicite, ce qui veut dire qu'elle est donnée par une relation de la forme

Nous avons trouvé- qu'il y avait maximum ou minimum âej quand lim — = o, c'est-à-dire quand -f- = /' [x) = o. Par

QkX eue

conséquent il suffira de différentier l'équation

/(*>J") = o> ce qui donne

d f rLr . d f rlv -. n

-dx + -dy-0,

ou bien

dy \dx )