GO

dy Ainsi le coefficient différentiel -j- est égal au rapport de la déri-

dx

vée relative à x avec la dérivée relative à y, pris en signe contraire.

La condition f 1 (x) = o revient donc à

— = 0, ou bien à -f- = oo .

dx dy

Cette théorie serait en défaut si les deux dérivées — » -7- étaient

dx dy

à la fois nulles ou infinies ; il en serait de même si Tune des deux

se présentait sous la forme

- ou —, o oo

70 CHAPITRE TBOISIEHK.

à moins que ces apparences indéterminées ne pussent se réduire à des résultats finis.

Le calcul différentiel montrerait sans peine ce qu'il faudrait faire s'il y avait plus de deux variables explicites ou implicites.

Soit

on trouve

du = -f- dx -f- -r- dr -+- 4 dz -4- • - • , dx dy dz

et la condition , ou plutôt les conditions nécessaires pour que u soit maximum ou minimum , sont contenues dans les équations

dx

dz

58. Nous prendrons comme exemple la question suivante : Circonscrire à une sphère donnée un cône de volume minimum. Soient CD = R le rayon de la sphère, SD = x -h R la hauteur Fig. 3. du cône et AD le rayon de sa base. Le vo-

lume de ce cône sera

soit donc

V = j7r(j;4-R)ÀD ;

il s'agit de trouver le minimum de la quantité

y=z (x+R). AD .

Soit sur SA la perpendiculaire CE = R : les triangles rectangles SAD, SCE sont semblables, puisqu'ils ont un angle commun en S, ce qui donne

x SA

de plus , on a