CHAPITRE IV

46. Dans le chapitre précédent , nous avons passé en revue les formules et les séries les plus importantes ; nous allons maintenant en faire l'application numérique et indiquer, par exemple , comment les logarithmes des nombres et des lignes trigonométriques ont pu être calculés d'une manière praticable.

Nous commencerons par la base e des logarithmes hyperboliques. Pour cela , reprenons la série

iii i i

t = H 1 h « "1 5~7 ^ oie H- • • • •

D'après le principe du n° 9, on reconnaîtra sans peine que cette série est convergente ; mais , de plus , nous verrons bientôt qu'il est facile de calculer l'erreur que Ton commet quand on s'arrête à un terme quelconque.

Remarquons d'abord que e n'est pas un nombre entier; car on a évidemment

Or cette dernière série est une progression géométrique qui a pour limite l'unité. On a donc

d'où l'on voit que e est un nombre compris entre 2 et 3.

Je dis, en second lieu, qu'aucun nombre fractionnaire exact ne peut exprimer la valeur de e.

En effet , soit , s'il est possible , «f = — > m étant un nombre

entier ainsi que n \ et poussons la série jusqu'à ce qu'on parvienne

aux termes dont lef dénominateurs renferment le facteur n. On aurait alors

2.3.4*-." 2.3.4» ••" (rt -f-l) d'où, multipliant les deux termes par 2. 3. 4» • •«> il reste 2.3*4* • '(^ — 1)01 = 2 X 2.3.4'-» 11 H- 3.4. ../*-+- 4* -* 71 +•••+!

Gomme le premier membre de cette égalité est un nombre entier, ainsi que la première partie du second , il faut que la deuxième partie de ce second membre soit aussi un nombre entier. Or cela est impossible , car cette deuxième partie

/2-f-I (fl+l)(/l + 2J (/?+l)(yî + 2)(/l+3)

a évidemment une valeur moindre que la somme de la progres-

sion

dont la limite est —

Donc enfin l'égalité

est impossible, et le nombre e est incommensurable, comme nous l'avions annoncé.

Le calcul précédent sert aussi à estimer la limite de l'erreur que Ton commet en prenant pour valeur de e les n premiers termes de la série.

En effet , cette erreur, que nous appellerons E , est égale à

c'est-à-dire que l'on a

E * 1 r«"HM)"*"(« -r-i)(*-ha)

L H "(/i4-0(«4-2)(/i-h3"j" h " mais nous avons vu que la série entre parenthèses est moindre

que -9 on a donc n

n 2 . 3. 4» • •" Le calcul se fera donc de la manière suivante :

Vwvvv/vwJ