Formules de quadrature
On peut compter encore parmi les formules approximatives celles qui servent à trouver avec une précision plus ou moins grande une certaine portion d'une surface , quelle que soit la nature de la courbe qui termine cette surface.
On connaît donc un certain nombre d'ordonnées équidistantes, ce qui ne donne en réalité qu'un polygone plus ou moins rapproché de la courbe , et il s'agit de calculer la surface comprise entre Taxe des abscisses, les ordonnées extrêmes et la courbe dont il s'agit.
Pour y parvenir, on a indiqué diverses méthodes : nous allons exposer l'une des plus employées et qui est due à Thomas Simpson.
Nous supposerons que la distance AG des ordonnées extrêmes
Fig. 5.
Mi
AhUhChDhEhFhG
AA' = £, GG' = E est divisée en un nombre pair de parties égales , et nous appellerons h la valeur commune de ces divisions.
Partageons AC = ih en trois portions égales aux points M et N j
88 CHAPITRE TAOlSliME.
. on voit que ÀM = MN = NC = — et que B est le milieu dé MN. lie premier trapèze AA' MM' a pour mesure
kXM AA'+MM' h kkt m „ AM . =: - AA' -h MM' :
de même le second MM' NN' est égal à
jfMM'-t-NN'),el enfin le troisième NN' CC s'exprime par
j (NJV' + CC).
Us auront donc pour somme
| [ AA' H- a (MM' -+- NN') + CC'].
Mais 2 (MM' -h NN') =s 4 OB > te point O étant celui où l'ordonnée BB' rencontre la corde M' N' ; or on peut remplacer 40B par 4BB', car la différence est très-petite et Von se rapproche de la courbe : ainsi l'aire A A' CC a pour mesure approximative
|(AA'-j-4BB'-hCC).
On verrait de même que l'aire CC DD' des deux parties suivantes a pour mesure
^(CC-t-4DD'-hEE'), et celle qui vient à la suite s'exprime par
^(ËE'-h4FF'-hGG').
En ajoutant, on aura Uaire totale
S — \[ AA' 4- 2 (CC + EE') -h 4 (BB' -h DD' + FF) -+- EE'].
En. indiquant par ly p la £omme des. ordonnées paires et par Ifi la somme des ordonnées impaires , la formule de Simpson est donc
et s'exprime par conséquent de la manière suivante :
Faites la somme des ordonnées extrêmes, ajoutez deux fois la somme des ordonnées paires et quatre fois la somme des ordonnées impaires; enfin multipliez le tout par le tiers de la division des abscisses.
Cette formule, qui est généralement satisfaisante, donne cependant des résultats d'une exactitude insuffisante pour les portions de courbe dont les éléments sont peu inclinés par rapport aux ordonnées , en même temps que la courbure est assez prononcée ; c'est ce qui a lieu aux environs du sommet de la parabole, quand cette courbe est dans sa position ordinaire.
La formule de M. Poncelet consiste en principe à prendre la moyenne des surfaces des polygones inscrit et circonscrit à la courbe. En admettant encore que le nombre des divisions soit pair et égal à un [fig. 5), voici la formule à laquelle il est conduit :
On voit quejr*! et.y în i sont les ordonnées voisines des ordonnées extrêmes.
Dans le cas défavorable de la parabole dont nous avons parlé, cette formule donne, près du sommet, plus d'approximation que celle de Simpson , mais cette valeur est un peu trop faible pour les courbes convexes à l'extérieur.
Enfin, si le nombre des divisions estjmpair, soit j, l'ordonnée
située à égale distance de e et de jr, , on pose encore la formule
S = *( J i +a 2*>)' On conçoit que ces formules, malgré les raisonnements par les-
QO CHAPITRE TROISIÈME.
quels on cherche à en justifier l'usage, ont toujours quelque chose d'arbitraire et d'empirique ; il n'en existe pas une qui ait un avantage constant sur toutes les autres dans toutes les circonstances, mais elles n'en sont pas moins utiles dans une foule de recherches de géométrie et de mécanique.
On trouvera d'autres détails et de nouvelles formules de quadratures dans un article de M. Piobert inséré dans le tome XIII des Nouvelles Annales de Mathématiques,
