Passons maintenant aux fonctions circulaires
Pour calculer, par exemple, le logarithme du sinus d'un, arc quelconque donné en degrés, minutes et secondes, nous supposerons d'abord que cet arc est pris dans un cercle dont le rayon est l'unité. Il faudra avant tout, dans ce cercle de i mètre de rayon, calculer en mètres la longueur de Tare donné en degrés. C'est l'inverse du problème que nous avons étudié dans le n° 6.
Comme on prend toujours pour point de départ un arc trèspetit , nous chercherons la longueur de l'arc de î seconde. Il est clair que la longueur de l'arc de i degré est
-3-1 et par suite arc 1" = -— — - — ^- = ^73 .
On aura ainsi cette longueur avec plus ou moins d'exactitude, suivant le nombre de décimales que l'on aura prises pour la valeur de ir.
Nous aurons donc la longueur d'un arc d'un, nombre que]? conque n de secondes, en multipliant par n la valeur précédente
Xz
Réciproquement, si l'on demande combien un arc de longueur a contient de secondes, nous verrons qu'il en renferme autant que la quantité x s'y trouve contenue de fois.
Posons donc
102 CHAPITBR QUATRIEME.
on voit que
ou bien
car on sait que
64&>oo
à un cent-millième près; par conséquent
Or il faut diviser a par x\ cela revient donc à multiplier par a : ainsi, le nombre de secondes contenues dans Tare de longueur a sera
Proposons-nous de chercher la différence des heures observées au même instant sur un parallèle donné de -la terre à deux points situés sur deux méridiens différents.
Pour cela, observons dans la relation précédente que le nombre
de secondes contenues dans un arc de longueur donnée diminue
quand le rayon augmente. Ainsi* dans un cercle de rayon r on
trouve
et si Ton cherche combien il v a de secondes dans 1 kilomètre du parallèle, il reste
De plus, soit R le rayon de la, terre supposée -sphérique, on sait que
r=Rcos>,
en appelant >. la latitude, et par suite
awr = 2ttR.cosX = 4 ooaooo ° • cos ^ •
Multipliant donc haut et bas par 2tt, il vient, à cause dv tt« = 648000
40000000 cos).
APPLICATIONS MATHÉMATIQUES. lo3
et enfin
cosX
Maintenant , soit t le nombre de secondes d'heure qui s'écoule entre le passage du soleil à chacun des méridiens, le rapport de ces secondes d'iicurc aux secondes de degré sera, comme on le sait, représenté par
On a donc
ce qui donne
i5 i5cos> 2, 16
cos).
Pour le parallèle de Paris ,
pour la différence des temps sur ce parallèle à i kilomètre de distance.
80. Connaissant ainsi , dans un cercle dont le rayon est égal à l'unité, la longueur d'un arc d'un nombre quelconque de secondes» nous calculerons son sinus et son cosinus par les formules connues et toujours convergentes
