COS X = I

Il sera même plus clair et plus exact de considérer x comme étant, dans un cercle quelconque, le rapport de la longueur de l'arc au rayon du cercle; de même sinx et cosx seront les rapports des lignes prises dans ce cercle avec ce même rayon.

De cette façon les lignes trigonométriques ne sont plus que des rapports, ainsi qu'on les considère dans l'analyse.

On déterminera ainsi, en admettant, par exemple, que l'on

1<>4 CHAP1TBB QUATA1XME.

parte de Tare de 10 secondes, le sinus et le cosinus de cet arc : pour connaître ceux des multiples de 10 secondes, on peut employer les formules suivantes, ducs, à Thomas Simpson :

sin (m -f- i)a= sin ma , 2 cos a — sin(w — 1) a y cos (m -+• i)a =z cos ma . 2 cos a — cos(/w — i)*,

et qui se déduisent facilement des valeurs connues de sin (a ± fy

et de ços(*±b), en faisant

b = ma.

On pose

a = arc \o",

on fait successivement

et Ton s'élève ainsi de proche en proche jusqu'à 45 degrés, ce qui suffit pour tout le quadrant, si Ton a calculé les sinus et les cosinus. En effet,

sin (45 +a) = cos (45 — a),

puisque la somme de ces deux angles fait 90 , quel que soit a. De

njênie

cos (45 -J- a) = sin (45 — a).

JjCS formules de Thomas Simpson fournissent une application remarquable de ce que nous avons dit au commencement du n° 48. On déterminera avec plus ou moins de décimales, suivant l'approximation que Ton veut avoir, le sinus et le cosinus de 10 secondes, et Ton fera le produit du facteur commun 2 cos 10" par les neuf chiffres. Ces produits serviront dans toute la série des calculs.

81. Afin de montrer avec plus de détails quelle peut être l'approximation dans ces calculs et de donner un exemple des grades par lesquels on avait cherché à remplacer les degrés du cercle, nous allons chercher, d'après M. Vincent, les sinus et cosinus relatifs à celte nouvelle division.

Au lieu de diviser le quadrant en 90 degrés, le degré en 60 minutes et la minute en 60 secondes, on l'avait partagé, à ('époque de l'invention du système décimal, en 100 grades, le grade en 100 minutes centésimales on centigrades, et le centigrade en \ 00 secondes centésimales ou dix-milligrades. On voit la différence

qui existe entre les minutes ou les secondes centésimales et les minutes ou les secondes sexagésimales ou ordinaires (*).

Prenons donc pour a, dans les formules de Simpson, la seconde centésimale, c'est-à-dire la millionième partie du quadrant dont la valeur, quand on fait le rayon égal à l'unité, est

=r o , ooo oo i 570 796 326 795.

L'erreur commise en employant cet arc pour son sinus sera moindre, d'après la série connue et la règle du n° 10, que '

— 5(0,0000016)* ou ^ (0,000 000 ooo* 000 000 004 096),

ou encore

c'est-à-dire l'unité décimale du dix huitième ordre. On pourra donc pousser le calcul de a jusqu'à la dix-huitième décimale et considérer le résultat comme représentant jusqu'à cette limite la valeur de sin a , ce qui exige l'emploi des douze premières décimales de ir.

Quant à la valeur de cosa, en la supposant égale à 1 9 on

ne commettra pas d'erreur dans les vingt-quatre premières décimales, car il est facile de voir que — =— y (0,000002)% qui mesure

2 • ô . Il

Terreur, est moindre que l'unité du vingt- quatrième ordre. Ainsi, les douze décimales de «r, qui en ont donné dix-huit pour sin a, en donneront vingt-quatre pour cosn.

On prendra donc, dans les formules de Th. Simpson ,

a = o',ooo 1 ,

c'est-à-dire une féconde centésimale , et l'on fera successivement

m = ï, m = 2, . . . , jusqu'à m =r 999999,

hypothèse finale qui reproduit le quadrant. En réalité, d'ailleurs, on sait qu'il n'est pas nécessaire de dépasser le demi-quadrant;

( * ) Dans beaucoup d'ouvrages on laisse au grade le nom de degré, et l'on indique les degrés, minutes et secondes de ce système par les mêmes signes °* '» "t <l u e dans le système ordinaire.

1C6 CHAPITBE QUAtAiÈMB.

mais en admettant mërne le cas défavorable où Ton irait jusqu'au quadrant entier, nous voulons faire voir que néanmoins, malgré V accumulation des erreurs, on aurait encore douze décimales exactes pour les sinus et cosinus des arcs les plus rapprochés de cette limite extrême.

A cet effet j soit représentée par £ la fraction d'unité du dix-huitième ordre dont sin o',ooo i est en défaut, Terreur de cos o',oooi sera négligée en comparaison, comme étant bien plus faible, puisqu'il a 24 décimales exactes et le sinus 18 seulement. • D'après cela , la limite de l'erreur de sin o*,ooo2 sera

2<î; celle de sin o',ooo3 sera

celle de sin o',ooo4 sera

et généralement la limite de l'erreur de sin (m -f i).o",oooi sera

mè.l — {m — i)d = (j?i+i)£.

Ainsi Terreur du sinus, à la limite du quadrant , sera

ïoooooo(Î,

ce qui réduira le nombre des décimales exactes de dix-huit à douze. De même, soit e la fraction de Tunité 'décimale du vingt-quatrième ordre dont cos o 1 , 000 ï est en défaut. L'erreur limite de coso g ,ooo2 sera 4* 9 parce qu'ici les deux facteurs du terme

cos o f , 0001 X 2 COSO g ,OOOÎ

étant comparables, on ne doit plus rien négliger : on voit qu'en effet cette erreur sera double de celle du carré de ce cosinus. Or, d'après les principes posés dans le premier chapitre, on a

(A + eJ'nA' + aAc,

c'est-à-dire que Terreur de ce carré sera 2 A s ou plutôt 21, puisque A est un cosinus.

De même

cos 3 a = cos 2 a , 2 cos a — cos a ;

mais l'erreur de cos za.zco&a s'évaluera en posant

a(B + 4i)(A + i) pour valeur de ce produit dont Terreur sera

résultat inférieur à 5 c . 2 , puisque À et B sont des cosinus. Ainsi Terreur, de cos 3 a sera

celle de cos 4 « sera de même

celle de cos 5 a sera

et ainsi de suite, c'est-à-dire, en généralisant, que cos(//i +1)" comporte une erreur limite de

ce qui montera pour Tare de 100 grades, c'est-à-dire le quadrant, à io t3 t, et fera, par conséquent, perdre à la série des cosinus, douze décimales sur vingt-quatre, de même que la série des sinus en avait perdu six sur dix-huit.

On voit donc que d'un coté comme de l'autre, on conserve douze décimales exactes dans toute la sur te des calculs.

Cette méthode s'appliquerait aussi facilement à l'ancienne division du cercle , c'est-à-dire à la division sexagésimale ordinaire ; car Ton sait que la nouvelle division décimale n'a pas prévalu , quoiqu'elle ait été adoptée dans plusieurs ouvrages , tels que la Trigonométrie de Legendre. On Ta sans doute rejetée, parce que le nombre 100 n'a pas autant de diviseurs que go et 60, mais surtout parce qu'elle aurait nécessité l'abandon d'une foule d'instruments dont les limbes étaient divisés suivant la méthode sexagésimale.

82. Les constructions qui donnent en géométrie les côtés de certains polygones réguliers permettent d'obtenir des vérifications assez nombreuses pour les .sinus et cosinus de certains arcs. Voici un tableau qui contient les valeurs des sinus et cosinus de 9 en 9 degrés (il est bien entendu que nous reprenons ici la division

ro8 «aiAPiTmr qcatbibm.

linaire):

sin o° = o, cas* = i ;

cosg° = ^ V3 -h V5 -H j V5— ^5;

sin i8*:= -j (^5— i), cosi8° = -t\/io-|- 2^5;

an27° = i \^5 + v^ — 4 V3— V^>

COS27" = 4 V 7 5 + ^5 -h t V^ — ^5 ;

sin36" = 4v'io — 2^5, co§36p = -i ( ^5 4- a) ;

sin 45° = -r V^â , cos45° = - V*2 ; On peut ajouter au tableau les valeurs suivantes :

sin-3o°=— y cos3o° = — ;

sin6o° = — » cos6o° = -;

sin

ï^-JÎ + lJI.

Ces valeurs du sinus et du cosinus de i5* = — ont été obtenues

d'après celles du sinus et du cosinus de 3o* — ^ au moyen des for-

mules qui permettent de prendre la moitié des arcs. On aurait de

même les valeurs de ces lignes pour -r? 75? etc.

APPLICATIONS MATHÉMATIQUES. fOCf

Ayant obtenu par le côté du décagone régulier le sinus et le cosinus de ■= et de — » on calculera ceux de — % -7—» etc. 5 10 20 4°

En appelant x le côté du pentédécagone , on aura .

et d'ailleurs

x r= 2sin— =9 i5

« = 7^10 + 2^5 — 7 fë{fô — 0-

85. Après avoir calculé les sinus et cosinus naturels, il faudrait chercher leurs logarithmes , mais comme nous avons supposé jusqu'ici le rayon égal à l'unité, tous ces logarithmes seraient négatifs; on prend donc un rayon R = io'°, ce qui revient à ajouter 10 a tous les logarithmes des lignes trigonométriqnes. De cette façon , il faudrait que les arcs fussent beaucoup plus petits qu'on ne les rencontre dans la pratique pour que les logarithmes de leurs sinus ou de leurs tangentes fussent négatifs. Par exemple , pour que le logarithme d'un sinus fût alors négatif, il faudrait

que Tare correspondant fût moindre que -7-

C'est pour nous conformer à l'usage que nous avons parlé du rayon des Tables; d'après ce que nous avons vu au n° 80, il serait plus naturel de dire simplement qu'on ajoute 10 aux logarithmes pour les rendre toujours positifs.

Du reste , on conçoit qu'on cherchera le logarithme des sinus et des cosinus naturels comme ceux des nombres ordinaires ; ainsi les logarithmes des nombres étant calculés, par exemple, avec sept décimales, on aura aussi sept décimales pour les logarithmes des lignes trigonométriques.

On peut d'ailleurs développer directement en série les logarithmes des sinus et des cosinus. Pour cela, rappelons-nous que la série

sin x =. x =- -+-

1.2.3 1 .2.3.4>5 est convergente, non pas seulement quand x est contenu dans le

premier quadrant, mais aussi quand x augmente ou diminue d'une ou de plusieurs circonférences. Par conséquent, l'équation

jr 3 o? s

sera résolue pour toutes les valeurs de x dont le sinus est nul ; ces valeurs sont contenues dans l'expression

h étant un nombre entier quelconque.

Or le polynôme , même indéfini , d'une équation, se décompose dans le produit des facteurs qui le rendent nul ; on aura donc

car il est facile de voir que x = ± kit rendra nul un des facteurs du second membre. On aura donc aussi, en dédoublant ces facteurs,

*« = ,(.+*) (.-ï) (.+£) (,£.) ( I+ £) (,JL) . .

Il sera donc d'autant plus facile de prendre les logarithmes de part et d'autre , que la forme des séries logarithmiques s'applique parfaitement aux facteurs du second membre.

Le même raisonnement s'appliquera au développement du cosinus

cosa: = 1 h

cos