Construction des polygones réguliers

Toutes lesGéométries donnent la construction de l'hexagone et du carré, ainsi que des polygones qui en dérivent ; elles indiquent aussi celle du décagone régulier par la division du rayon en moyenne et extrême raison , mais il est plus simple d'employer la construction suivante, qui revient au même, ci qui d'ailleurs est assez connue.

Menez les deux diamètres perpendiculaires AB, CF [fig. 9); du

point C comme centre et d'une ou ver tnre de compas égale au rayon OA , coupez la circonférence en G et H , joignez GH , qui coupe OC en D, et du poinl D, milieu de OC , pris pour centre, avec le rayon DÀ, décrivez une circonférence qui coupe OD en E : la distance OE sera le côté du décagone inscrit et AE celui du pentagone. Cela suppose démontré le théorème suivant :

Le carré du côté du pentagone régulier inscrit est égal au carré du côté du décagone régulier inscrit; plus le carré du rayon ; ou , ce qui revient au même, le carré du côté de l'hexagone régulier inscrit.

Cette construction est exacte; nous allons voir quelques constructions approximatives.

Pour obtenir le côté de l'heptagone régulier inscrit , d'un point quelconque C de la circonférence pris pour centre {fîg. 9) , et a* un rayon égal à celui du cercle, prenez les deux points G et H et joignez GH qui coupe OC en D , la longueur GD = HD est presque égale au côté du polygone régulier de sept côtés.

On voit que c'est la moitié du côté du triangle équilatéral inscrit. ê

En calculant par logarithmes le côté de l'heptagone régulier, on trouve 8,86775, le rayon étant 1 ; tandis que

i/3 GD = " = 0,86602 ,

approximation très-suffisante.

Mais voici une construction pratique qui s'applique à tous les polygones réguliers ; elle est dueàBion, mathématicien du dernier siècle.

Divisez le diamètre AB en autant de parties qu'on veut en avoir sur la circonférence ; des points A et B comme centres, et avec AB comme rayon, décrivez deux arcs de cercle qui se coupent en C, puis joignez le point C à la seconde division du diamètre, cette

Fig. 10.

ligne prolongée ira couper la circonférence en D, et Bl) sera la portion demandée de la circonférence {fig. 10).

Dans la figure on a pris n = 8, ce qui donne l'octogone régulier.

Mais il est important de savoir quelle approximation donne ce

procédé, et c'est ce que nous allons chercher. Posons

AMC == a, ACM = p et DOB = 7.

Dans le triangle MCA on a la proportion

sina sin{3

car AC = 2 R = AB ; d'ailleurs p = 1 20 — a , puisque A = 6o°, comme angle du triangle équilatéral ABC.

Ensuite, comme DMÛ = 180 — a , le triangle DMO donne

sina

sin(« — 7) R

On a donc

sina

sin(i20 — a)

et

sina

sin(a — 7)

En divisant chaque équation par sina, on a d'abord

sin 1 20 cot a — cos 1 20 2

Or

^3 i sm 1 20 = — et cos 1 20 = ;

donc

V^3.cota-t-i « — 2

I = et cot a =

Ensuite

cos 7 — sin 7 cot a 1

cos 7 —

sin 7 (/z — 4) n — 4

nfi

En réduisant, on a

COS7 = (/i — A) • s-t ; V; -•

Cette formule permet de comparer les valeurs approximative* qu'elle procure avec les valeurs exactes.