DIFFERENCES
nz= 3,
exact
exact
au lieu de
exact
au lieu de 5i° 25' 43"
Les différences augmentent , quoique très-lentement , niais il y atira une limite où elles diminueront, car pour /i=oo, cette différence sera évidemment nulle. Il est remarquable que cette construction approximative donne d'une manière exacte le triangle éqiiilatéral , le carré et l'hexagone régulier.
Le calcul a été poussé jusqu'au polygone de dix-sept côtés que Ton sait maintenant inscrire exactement; mais la construction qui résulterait des calculs de Gauss serait tellement compliquée, que cette approximation vaudrait encore mieux dans la pratique.
Pour un nombre de divisions n > 8, ce procédé a été modifié de la manière suivante par M. Tempier, sous -directeur des Écoles chrétiennes à Montpellier.
Divisez le diamètre AB en autant de parties égales qu'on veut en avoir sur la circonférence; des points A et B comme centres et avec AB comme rayon , décrivez deux arcs qui se coupent en C ; puis, si le nombre de divisions est égal ou supérieur à 8, joignez le point € à la seconde division du diamètre à partir du centre (cela signifie que Ton prend, à partir du centre, même si n est impair ', une longueur égale à deux divisions). Menez donc par le pointG deux sécantes passant, l'une CE par le centre^O, l'autre CD par cette deuxième division à partir du centre , Tare DE = £ intercepté par ces deux sécantes est l'arc demandé, égal à peu près à la n iim * partie de Ta circonférence.
La fig* 10 convient également aux deux constructions, car il est facile de voir que pour n =£ 8 elles reviennent au même, mais pour toute autre valeur de n elles seraient différentes,
Des calculs analogues à ceux que nous avons faits relativement au procédé de Bion, ont conduit M. Tempier à la formule suivante:
12/ï 4- slfàn 1 — 5ï2
smo =
Voici les résultats des calculs pour diverses valeurs paires de n ; maïs, comme nous l'avons observé, ce procédé s'applique aussi bien quand n est impair, quoique le centre ne soit pas alors un
1?6 CHAflTAE QUATEIKltK.
point de division du diamètre.
•ivrciracEs
au lieu de
exact
au lieu de
ia
7 ta
/î=IOO,
On voit que , pour n > 8, ce procédé est préférable à celui de Bion, parce que les erreurs sont plus petites; elles vont même en diminuant au delà d'une certaine limite.
58. Construction géométrique des expressions algébriques homogènes.
On comprend combien il est important pour vérifier les calculs et concevoir nettement les questions, de construire sur le papier les résultats donnés par l'analyse. Seulement, pour qu'une expression algébrique ait une signification géométrique, il faut qu'elle soit homogène, c'est-à-dire que les quantités contenues, par exemple, dans le numérateur ou le dénominateur d'une fraction soient de même nature, telles que des lignes, des surfaces, des solides, ou, plus généralement, toutes ces quantités doivent être telles , que si dans chacune d'elles on fait la somme des exposants de toutes les lettres, toutes ces sommes soient égales.
On eonçoit, en effet, que si l'on demandait d'ajouter une ligne à une surface ou une surface à un solide, cette question n'aurait pas de sens.
11 faut encore que le degré d'un membre de l'équation, obtenu , comme nous venons de le dire , en faisant la somme de tous les exposants (ceux qui sont en dénominateur étant considérés comme négatifs), soit égal au degré de l'autre membre; car il serait évidemment impossible d'égaler une ligne à une surface, une surface à un solide, etc.
Or cette condition d'homogénéité n 1 est pas toujours remplie en apparence dans les expressions algébriques : c'est ce qui arrive si l'on demande de construire x = sin 3 a.
En effet, puisque Ton regarde le sinus comme un nombre, il en résulterait que la longueur x est égale à un nombre abstrait, ce qui est absurde ; mais il faut comprendre que x représente , non pas la longueur cherchée, mais le rapport de cette longueur à l'unité , telle que le mètre.
En général, soit a cette unité; l'équation constructible devient
- = sin 2 a ou bien jr = asin'a, a
équation homogène que nous construirons bientôt.
D'après cela, nous voyons que, pour rétablir l'homogénéité dans une formule, il suffit de remplacer chaque ligne par son rapport avec l'unité de longueur.
Tous les Traités de Géométrie enseignent à construire x= ^a 2 -\-6*
et x = ^a* — 6* par un triangle rectangle, x = — par les triangles
semblables et xz=z sjab par les triangles rectangles semblables inscrits dans la demi-circonférence (*). Ces expressions fondamentales permettent de construire les formules les plus compliquées, mais nous nous arrêterons à celles qui sont susceptibles de quelques simplifications particulières.
(*) Pour construire xz^yfâb (b étant la plus petite des deux lignes), voici une nouvelle méthode, due à M. Gouzy (de Lausanne). Sur une droite indéfinie, prenez AB = b et, dans le même sens, AC =. a\ dans le sensopposé, prenez CD = a ; enfin des points C et D comme centres, et avec le rayon a, décrivez des arcs de cercle qui se coupent en : voua aurez
OA = OB = sl^b.
128 Chapitre quataikhe.
