CD" + A'E" — B'D'E' -+- F' (B" — 4A'C

de même le terme indépendant de X sera .

CD* -t- AE 2 — BDE + F(B'-- 4 AC) :

or, si l'un de ces coefficients était nul , la conique correspondante vérifierait l'équation (i 3) et se décomposerait en deux droites.

L'équation (i3) étant donc toujours du troisième degré en X, pourra avoir une ou trois racines réelles. Dans le premier cas , cette racine unique fera toujours trouver, comme nous l'avons vu, un couple de sécantes réelles dont l'une, au moins, ne donnera que des points imaginaires; l'autre pouvant correspondre, suivant l'occasion, à deux autres points imaginaires, ou à deux points réels, communs aux courbes proposées.

En général, pour reconnaître si une sécante réelle donnedes points réels ou imaginaires, il faudra combiner son équation avec celle de l'une des coniques et voir si la droite et la courbe se rencontrent.

Dans le second cas, où > a trois valeurs réelles, il peut arriver,, comme on l'a dit, que l'on obtienne trois couples de sécantes réelles et, par suite, quatre points communs aux deux courbes. S'il en est ainsi, on n'aura pas besoin de combiner les droites avec les coniques ; les points d'intersection d'un couple de droites avec un autre couple seront les points communs aux courbes proposées.

Mais il ne faut pas croire que la réalité des trois racines de l'équation en \ entraîne nécessairement la réalité des trois couples de sécantes. Nous savons, à la vérité, que l'un, au moins, de ces trois couples , doit être réel , mais il peut ne pas en être de même pour les deux autres, car nous verrons bientôt qu'une valeur réelle de \ peut quelquefois donner un couple de droites imaginaires.

l56 CHAPITRK QUATRIÈME.

Nous savons que, s'il n'y a pas trois couples de sécantes réelles, il y en a un seul. Donc celle des trois valeurs réelles de a qui correspond à ce couple unique donne lieu à la même discussion que nous avons déjà faite pour une seule valeur réelle de a , c'està-dire que les coniques ne rencontreront que l'une des sécantes et pourront même n'en rencontrer aucune.

III. Voici maintenant comment on peut, après avoir déterminé a en résolvant F équation (i3), trouver celles des couples de sécantes.

Posons, pour simplifier,

l'équation (12) deviendra

en ajoutant (i4) avec (6) , on obtient

2/WJl' =r b±K f et divisant par f 4) , il vient

n la

En combinant (10) et (14 ), on trouve

Mais on voit que

p n p p ia '

remplaçant — par cette valeur dans (i5), on obtient

P d'où l'on tire