Intersections des sections coniques
I. On peut encore ramener à la résolution d'une équation du troisième degré le calcul de l'intersection de deux coniques. Le plus simple est de chercher les équations des droites qui réunissent les points communs aux courbes pris deux à deux; mais, avant d'exposer cette méthode, nous devons faire remarquer qu'une sécante réelle peut correspondre à des points imaginaires.
Soient
À/*+ Bxy -4- Cx 3 -F Djr + Ex -h F =o
et
A'jr'-h B'xj + C'x'+ D'/ -h E' x -h F' = o
les équations des courbes données; multiplions la première par A', la seconde par A , et retranchons, il viendra
xy (A'B — AB') -+- «'(A 7 C — AC) -h y (A'D — AD') 4- 2 (A'E — AE') 4- A'F — AF' = o :
de là on peut tirer la valeur de y que l'on substituera dans, l'équation de Tune des coniques, ce qui donnera une équation du quatrième degré en .r.
l52 CHAPITRE QUATRIEME.
Le polynôme qui en forme le premier membre peut toujours , comme on le sait, se décomposer en deux facteurs réels du second degré dont chacun donne , quand on l'égale à zéro , deux racines réelles ou imaginaires. Si ces racines x\ x" sont réelles, il est clair qu'elles donnent aussi des quantités réelles pour y* et y" y quand on les substitue dans l'équation précédemment écrite, oh y n'entre qu'au premier degré; mais si elles sont imaginaires, y' et y seront aussi imaginaires.
Cependant, il faut observer que, même dans cette circonstance, la droite qui passera par ces deux points imaginaires conjugués sera une sécante réelle. En effet, on sait que la valeur imaginaire a* sera de la forme
x' = a -f- p ^— i, et que l'expression correspondante y sera aussi représentée par
Or, comme on passe de x' à x" en changeant le signe du radical, ce qui donne
x" = a — p sf^T,
on obtiendra y" au moyen àe y' en faisant le même changement, ce qui donne
Gela posé , l'équation de la droite qui passe par les deux points* en question, étant
ou bien
on trouvera
ce qui donnera l'équation réelle de la droite
Voici donc les trois cas généraux qui peuvent se présenter :
i°. Les deux coniques n'ont aucun point commun; cependant les points imaginaires conjugués deux à deux donnent deux sécantes communes réelles ;
2 . Les coniques ont deux points communs; c'est ce qui arrive quand l'un des facteurs du second degré qui composent l'équation du quatrième degré dont nous avons parlé , donne deux racines réelles, tandis que l'autre donne encore deux racines imaginaires : alors une sécante passe par les points réels, et une autre sécante réelle passe encore par les deux points imaginaires;
3°. Enfin les coniques ont quatre points communs : dans ce cas, chacun des facteurs du second degré se décompose en deux facteurs réels du premier degré, ce qui donne quatre points réels que l'on peut grouper deux à deux de six manières différentes ; on obtient donc trois couples de sécantes communes. Ainsi , soient M , N, p et Q les quatre points communs , on aura les couples de
sécantes
MN et PQ ,
MP et NQ ,
MQ et NP.
II. Nous allons voir comment on trouve , dans tous les cas, les couples de sécantes communes.
Soient
(0 MirA^ + B^+C^ + Dj+Ei + Fs:»
et
(2) M'= A' y -h B'jcï -h Cx'+iyy -f- E' x -f- F' = o
les équations des coniques dont on demande l'intersection. En représentant par \ un coefficient arbitraire , l'équation
(3) M + XM' = o
sera l'équation générale de toutes les coniques qui passent par le*
l54 CHAPITRE QUATRIÈME.
points communs aux deux courbes données, puisqu'elle sera toujours satisfaite, quel que soit >, par lés valeurs qui donnent à la fois
On cherchera donc à disposer de X en sorte que l'équation (3) devienne celle d'un couple de droites passant par les points communs.
Or, si nous posons
rf=D+XD', tf = E-+->E', /=F-4-*AF',
il est clair que l'équation (3) deviendra
ay 2 -f. bxjr -h ex 2 -+- dy -f- ex -j-/ = o ,
et comme elle doit se ramener à deux facteurs du premier degré, il faut poser
a y* | bxy+cx^+dy+cx -+-/*= (mx H- ny -h p){m r X -f- n f y-+-p')>
les équations mx -f-/?j-f-/? = o, m' x-\- n' y -|- p' = o étant celles des deux droites qu'il faut déterminer.
Développant les calculs indiqués, nous trouverons les équations de condition
a =nn' (4), b = mn' -J-/w'«(6), d = np' H-*'/» (8), c = mm'(5), /=/>// (7), e =: mp' + m' p (g).
Les équations (8 ) et (9) donnent
(10) dm — en = p (mn' — m' /*) et
(11) dm' — en' = p' [m' n — mn').
Multipliant (10) et (11), on trouve, en ayant, égard aux relations (4)> (5) et (6) qui donnent
(12) (mn' — m r n) 7 = b 7 — 4 rtc > l 'équation de condition
(i3) rd 7 -+- aé 1 — bde -+-/( ?> 7 — ^ac) == o,
qui déterminera a.
D'après les valeurs de «, b, c, . . . , il est clair que l'équation
APPLICATIONS MATHÉMATIQUES. l55
(i 3) sera du troisième degré en À , et nous allons même faire voir que cette équation ne peut jamais s'abaisser à un degré inférieur, à moins que l'une des coniques ne se décompose elle-même en un système de deux droites. En effet, dans cette équation (i3), remplaçons a par A H- XA' et les autres coefficients par leurs valeurs analogues, on verra facilement que le coefficient de V sera
