Règle de Guldin

Nous terminerons les applications mathématiques par l'énoncé de cette règle , qui consiste dans l'ensemble de deux théorèmes que l'on trouve démontrés dans la plupart des ouvrages de Mécanique ou de Statique , et qui permettent souvent de calculer avec une grande facilité les surfaces ou les solides de révolntion.

Une surface de révolution a pour mesure le produit de la ligne génératrice par la circonférence que décrit le centre de gravité de cette ligne.

Un solide de révolution a pour mesure le produit de la surface génératrice par la circonférence que décrit le centre de gravité de cette surface.

Considérons, comme application très-simple , l'anneau 1 engen- Fig. a3. dré par le cercle de rayon AC = R [fi g» 23)

et tournant autour de l'axe A' B' situé à la distance CC — d. La surface de cet anneau sera

S= 2 7rR.27r<i ou bien S = 4w*R^

et le volume sera

V = ttR j znd ou bien V=2tt 2 R j </.

Quand un contour a un centre , il est clair que c'est à la fois le centré de gravité de ce contour, curviligne ou rectiligne, et aussi celui de la surface terminée par ce contour. Mais le centre de gravité d'un contour quelconque n'est pas toujours celui de la surface qui s'y trouve terminée ; par exemple , le centre de gravité de la surface du triangle est au point de concours des médianes et au tiers de chacune d'elles, à partir de la base ; tandis que le centre de gravité du contour d'un triangle est le centre du

cercle inscrit au triangle que Ton obtient en joignant les milieux

des côtés du triangle donné.

Nous nous arrêterons sur une difficulté qui se présente dans la

mesure des surfaces de révolution quand Taxe de rotation est un

des côtés du contour.

Considérons, par exemple, un hexagone régulier [fig. 24 )

tournant autour d'un de ses côtés AB, et cherchons la surface engendrée par le reste du contour BCDEFA, car AB ne tournant pas n'engendre aucune surface. On pourrait l'évaluer en cherchant le centre de gravité de ce reste de contour et y appliquant la règle de Guldin ; mais je dis qu'il suffît de prendre le centre de gravité O du contour to* tal , la distance de ce point à Taxe AB étant

OM = - Y ^ , si nous représentons par c le côté de l'hexagone

régulier, et de multiplier le contour total 6 c par OM, de sorte que

S = 6ttc* ^3.

Pour le démontrer, imaginons que le contour tourne autour d'un axe A' B' parallèle à AB , à une distance MP = d. La surface engendrée par le contour total sera, d'après la règle,

a ( c fi J\

OC.2.7T I — h« 1 ?

mais si nous retranchons la surface engendrée par le côté AB , c'est-à-dire le cylindre cind, la surface cherchée sera

.2ir f -

Alors, si l'on suppose d = o, pour revenir au cas que l'on considère, il reste

comme ci-dessus.

Il faut donc compter le côté qui est sur l'axe, comme faisant partie du contour.