MESURE DE LA PROFONDEUR D'UN PUITS
78. Nous terminerons ce chapitre par une nouvelle application de nos principes d'approximation à un problème relatif à la fois à la pesanteur et à l'acoustique , et dont voici l'énoncé.
On a laissé tomber une pierre au fond d'un puits ; au bout de n secondes on entend le bruit de la chute : on demande la profondeur du puits.
La vitesse de propagation du son dans l'air est
a. étant le coefficient de dilatation de l'air que nous avons déjà exprimé par - — \ ainsi, cette vitesse sera 333 mètres à o degré, et à 3oo
peu près 339 mètres à 10 degrés. La pression atmosphérique ne figure point dans cette formule, parce que, d'après la loi de Mariotte , elle fait varier la densité de l'air dans la même proportion que son élasticité.
La formule
212 CHAP1TBS CINQUIEME.
donne
lie
pour le temps de la chute. D'ailleurs le son parcourant i mètre
en une fraction de seconde -» parcourra e en -; donc
ce qui donne
le
et Ton obtient l'équation
e 1 — 2 ep ( /î -h - j -+- /*'/>' = °-
Gomme n*p*^>o, on voit que les deux racines sont de même signe et, par conséquent, positives; cependant, de ces deux racines qui se présentent sous la forme
«*(«+5)±iVç+»;-
il est clair qu'une seule convient à la question, et je dis que c'est celle dans laquelle le radical est pris négativement. En effet , si l'on prenait le signe positif, on trouverait e>/wi : or, si l'on avait seulement e=zpn, il en résulterait, d'après l'équation
e /ac
n =ï + VJ
que le temps 4 / — de la chute du corps devrait être nul ; donc,
à plus forte raison , l'on ne peut avoir e ^>pn , et la valeur cherchée est
D'après la formule que nous avons posée pour la vitesse de propagation du son , il est facile de voir que, dans les circonstances
ordinaires de température , on peut prendre , sans erreur sensible ,
p = 34o mètres.
Ensuite on sait que g = g ra ,8088 à Paris ; on peut donc prendre, à une unité près ,
et la formule devient
Maintenant nous allons la simplifier par les méthodes connues d'approximation .
Nous avons trouvé (27) le développement, par le binôme de
Newton, de la quantité (1 -f- s)* , où s est supposé suffisamment petit : calculons les trois premières puissances de s , et même la quatrième, afin d'avoir une évaluation de Terreur; nous trouverons
ce qui donne
Nous pouvons transformer le radical de la manière suivante :
^(34)' -h 34.2/1 = 34 i/ 1 4- H == 34 vThm en posant
Remplaçant donc e par cette valeur, nous avons ♦ 3j ^1 + 6 = 34 -+-«-— 57 +
2l4 CHAPITRE CINQUIÈME. — APPLICATIONS PHYSIQUES.
Effaçant donc les termes qui se détruisent , on trouve
Si nous négligeons le dernier terme , il reste
et nous nous arrêterons à cette formule approximative, très-facile
à calculer, car il suffit, pour avoir la correction r-7-> de multi-
plier 5 n 2 par -^f
Ainsi * — 3 donne
e = 4 1 mètres ; « *= 5 donne
usa 107 mètres.
Ces résultats s'approchent , à 1 mètre près , de ceux qui seraient donnés par la formule rigoureuse
C'est une approximation plus grande qu'on ne pourrait l'attendre du dernier terme négligé
cela tient à ce que Terreur commise en supprimant ce terme est opposée à celle que l'on fait quand on pose
On comprend du reste que la formule rigoureuse elle-même ne peut donner qu'une appréciation grossière , à cause de la difficulté d'évaluer p , mais surtout parce qu'il est impossible de mesurer le temps d'une manière suffisamment exacte pour connaître avec précision la profondeur cherchée.
