CH4PITRE VI

70. Si Ton donne n •+■ i valeurs x , x x , .r 2 , . . . , .r n d'une variable .r, et les valeurs correspondantes /„, y n /a,..., y n d'une fonction j* de cette variable, on appelle interpolation loute méthode capable de faire connaître les valeurs de y qui correspondent à d'autres valeurs de.r, comprises entre .r et .*v On conçoit, en effet, que ces n •+- i données seraient insuffisantes pour déterminer y au delà ou en deçà de cet intervalle, surtout si Ton ignorait la forme analytique de la fonction , comme cela arrive dans beaucoup de questions pratiques : ainsi nous ne connaissons point la nature de la relation qui existe entre la température et la force élastique de la vapeur.

Cependant quand on ne sait point déterminer analytiquement y au moyen de x , on peut généralement représenter cette fonction par une équation empirique. On a recours d'ordinaire à la méthode des coefficients indéterminés , c'est-à-dire que Ton pose

y = a -+- bx -f- ex 7 4- ....

Les coefficients a, b, c,. . . peuvent être en nombre n -f- i , et se trouveront au moyen des n -f- i valeurs connues de y; mais cette méthode ne sera véritablement avantageuse que si l'on peut se contenter d'un petit nombre de termes. C'est ce que l'on reconnaît quand les coefficients décroissent rapidement , et quand on arrive promptement à un coefficient assez petit pour que Ton puisse négliger les termes suivants.

77. Nous choisirons , comme exemple très-simple, le calcul de la longueur de Tannée.

La longueur m de Tannée moyenne se présentera en Tan 236o,

2l6 CHAPITRE SIXIÈME.

c'est-à-dire 23 ,6 siècles après J.-C. , mais nous prendrons cette époque pour point de départ.

L'année maximum , de longueur m -*- 38", a eu lieu en 3o4o avant J.-G. , ce qui fait 54 siècles avant l'origine.

L'année minimum, de longueur m — 38", aura lieu en Fan 7600, ou bien 52 ,4 siècles après l'origine.

Donc , depuis les temps historiques , l'année est /w -f- j, c'est-àdire qu'elle a un excès y sur l'année moyenne , maïs cet excès va toujours en diminuant.

Pour l'époque d'Hipparqae, qui vivait en \!\o avant J.-C, ou bien a5 siècles avant l'origine , on trouve à peu près

Pour Tan 1800, ce qui fait 5,6 siècles avant l'origine, on a trouvé

D r après cela , on demande le développement de y suivant les puissances de x , nombre de siècles.

Nous verrons bientôt que l'on peut se contenter de deux coefficients , ce qui permet de poser

y = A x -h B jt 2 ,

car il est clair que

a: = o donne y = o ,

puisque la variation y est nulle à l'origine ; mais , pour déterminer A et B , nous prendrons les deux limites extrêmes , afin d'embrasser toute l'étendue de la série.

Substituant donc , dans l'équation

y = A x -+- B x 2 T les valeurs

# =r— -54, .To=38 et J7„ = 52,4, r«=~ 38 r nous aurons deux équations de condition qui nous donneront

La petitesse de ce dernier coefficient nous dispense d'en calculer

d'autres , et nous avons

D'ailleurs nous pouvons vérifier les deux observations intermédiaires dont nous n'avons point fait usage : ainsi

x = — 5 ,6 donne y = 3 ,99 au lieu de 4 >

et

x = — 25 donne y = 17 ,639 au lieu de 18.

Cherchons ce qui aura lieu en 1900 : pour cette année,

puisqu'il se sera écoulé un siècle depuis 1800, nous trouvons

alors

ou simplement

78. Cherchons maintenant, par un développement d'une nature un peu différente, la variation du rayon de la terre suivant les diverses latitudes.

Soit R le rayon équatorial qui est maximum, comme on le sait, et soit r le rayon de la terre à une latitude quelconque \ , je dis que l'on peut , pour une première approximation , poser

=R ( , -^ sinn )

formule empirique déterminée d'après l'aplatissement connu de la

terre , qui est égal à ? — au pôle , pour lequel \ = 90 : on prend

le carré du sinus , parce que cet aplatissement est le même pour ± go°, puisque la terre est une surface de révolution.

Mais cette formule serait insuffisante , et il faut ajouter au coefficient de R (ou en retrancher, s'il y a lieu) une quantité dépendant d'une observation faite , pour plus de sûreté , à égale dislance entre o et 90 degrés, c'est-à-dire à 45 degrés. Je dis que nous pourrons tenir compte de l'observation faite en ce point, si nous

2l8 CHAPITRE SIXIÈME.

introduisons dans la formule qui est jusqu'à présent

r=R(i — ifin'l)

ici s =s ~ — ) î un terme de la forme t' sin 1 2 > , car sin i \ sera

évidemment nul pour \ = o et pour a = go°, circonstances dans

lesquelles ce nouveau terme ne doit pas influer. Nous aurons

donc

r = R ( i — - * sïn*> -h c ' sin 2 2 À ) .

Pour obtenir une troisième approximation, nous prendrons encore , à des distances égales entre o et 45 degrés , entre 45 et 90 degrés, les arcs de 22 1 et de 67 7 , ce qui nous conduirait à ajouter un terme de la forme e" sin 2 4* qui serait nul pour o, 90 et 45 degrés. Mais il y aurait cet inconvénient, que ce terme donnerait la même correction pour 22°| que pour 67°^ : soit \" la correction donnée par l'expérience pour 22 \ ; soit s ,T la correction analogue pour 67 ° y : nous trouverons diverses manières d'avoir égnrd à la différence de « w et de «**.

Nous pourrons ajouter un terme de la forme

sin'4X.e w [i + K sin 2 (X — 22 {)], K étant un facteur tel , que pour

le coefficient

g'"[i +Ksin 2 (X — 22 !)]

soit égal ài ,? . Nous devons donc poser

5 "rr: K s* sin 2 (A — 22°-^) -f- fi'" :

alors, puisque

il reste

a — 22 { = 45° et sin 2 45° = - >

d'où Ton tire

et K = ■ ?

ce qui donne enfin r=RJi— Ésin a ^«'Mn'a^i ,// sin*4^^

On peut encore prendre une moyenne entre t w et e ,T , en la regardant, sauf correction, comme la valeur •" dont nous avons

parlé. Cherchons donc à ajouter à cette moyenne - ( •"+ e") une

quantité qui soit égale et de signe contraire pour 22° T et 67°y. On y parviendra en ajoutant une quantité ? cos2>, parce que \ = 22 T donnera

cos 2 \ = cos45° = -*st ; au contraire , si \ = 67 T ,