Prenons, pour premier exemple, l'expression 9 où e
représente une quantité très-petite. On sait qu'il est pénible d'avoir à diviser par une quantité approximative et incommensurable; cherchons donc à éviter la nécessité de cette division. Notts
remarquerons que, e étant très-petit, est plus petit que l'u-
nité, mais que la différence est peu considérable; nous pourrons
donc poser
= I Xy
x étant encore une quantité très- petite. Chassant le dénominateur, on trouve
1 = (i -4- e) (1 — jr) = n-g — x — zx.
Réduisant et négligeant, d'après l'observation du n°2 , le produit
NOTIONS GENERALES
ex qui est du second ordre de petitesse , il reste
et enfin
On aura de même
Vu l'importance de cette formule approximative , nous allons la démontrer par la méthode, moins simple peut-être, mais plus connue , de la division algébrique, qui donne le résultat suivant :
On voit qu'en supprimant les puissances supérieures de s , il reste pour quotient î — e.
De même
•i = .L,! = l( I l\ = .L JL.
Si le numérateur était lui-même une quantité très-petite $ , on verrait que
ou approximativement
puisque Ton néglige #s.
4. Les considérations précédentes conduisent à un résultat d'une grande importance, le théorème de Bernoulli sur la superposition des petits mouvements, ou bien , ce qui revient au même , la proportionnalité des petites causes aux petits effets. Ce principe consiste en ce que, pour tenir compte de chaque espèce de correction , il faut ajouter à la quantité observée (ou bien en retrancher,
4 CHAPITRE PBEMIBR.
suivant le signe de Terreur) une correction prise à la simple puissance. Ainsi , A étant la quantité observée , pour tenir compte d'une première cause d'erreur il faut multiplier A par i-f- 1, cette quantité s étant très-petite; puisque si elle était nulle , la valeur A serait exacte : de même, pour avoir égard a une autre correction , il faudra multiplier par i + 6* ; donc la vraie valeur sera
Développant et négligeant sô*, il reste
ce qui revient à ajouter à la quantité A les corrections As et A J, chacune prise en son signe.
Il en serait évidemment de même s'il y avait plus de deux causes d'erreur, ce qui permet de poser le principe suivant :
Chaque correction modifie le résultat comme si elle était seule (*\
8. Nous appliquerons par la suite ces formules à différentes considérations de physique et surtout à la théorie des dilatalious ; mais lions allons , comme exemple très-simple de l'utilité des principes précédents , chercher la distance entre le cercle et la tangente à l'extrémité d'un arc très- petit.
Soient AB=a lu longueur d'un arc [fig, i) très-petit sur un cercle de rayon r, BC Je diamètre passant par l'une des extrémités de cet arc, et BE la tangente à cette extrémité B ; enfin du point A abaissons les perpendiculaires AD et AE sur le diamètre et la tangente : il s'agit de mesurer la distance AE , qui est évidemment égale à BD.
On sait que
or
AB = BC.BD; BC = 2r,
(*) Cette conclusion serait toujours vraie, même quand une correction serait représentée par le carré, le cube,, . . de la cause d'erreur correspondante, comme on Fa vu dans le n° I.
NOTIONS GKNÉBALES. 5
ci comme l'arc AB est très- petit, on peut le regarder comme égal à sa corde , ce qui donne
ir Ici l'approximation consiste à remplacer Tare a par sa corde
AB = 2rsin — •
Or, d'après le développement du sinus en fonction de l'arc, on
sait que
ce qui fait voir qu'on peut faire la substitution indiquée en négligeant' seulement le cube de la moitié de Tare.
S'il s'agit de la terre dont la circonférence est représentée par 4o ooo ooo de mètres, on trouve
sin — =
r 4° °°° °°° et
AE = a 2 . 0,000 000 07854 (*) .
Soit, par exemple, AB = 1 kilomètre; oh obtient à peu près
AE = o m ,078.
La petitesse de cette quantité fait comprendre comment on peut voir des nuages bien plus éloignés qu'on ne le pense d'ordinaire ; mais il est impossible d'en préciser les distances à cause de leur élévation très-variable.
6. Cette question nous engage à rappeler un problème qui se présente souvent dans les calculs et qui consiste à trouver la valeur d'un arc en degrés quand on donne la longueur île cet arc
(*) A propos de l'évaluation du coefficient de a", nous ferons observer que le mot billion fait confusion dans la numération parlée, parce qu'en français il veut dire dix fois cent millions, et en anglais cent fois cent millions.
sur une circonférence de rayon connu , ou , réciproquement , connaissant la valeur d'un angle en degrés, trouver la longueur de tare qui lui correspond sur une circonférence de rayon donné.
Ce problème se résout par une simple proporlion.
Supposons, par exemple, que Ton demande le nombre de degrés de l'arc représenté en grandeur par le nombre 1 7, le rayon étant 1 .
Nous remarquerons que la circonférence entière, composée de 36o degrés , a pour longueur 2 *■ , ce qui donne
Or
2tt 17 180. 1 n = -/ et * = '■
OOO x 1Z
ce qui donne
ou bien deux circonférences et demie, plus 74° i'43"- S'il s'agissait d'un cercle de rayon quelconque R , on aurait évidemment
27rR 17
7. Nous considérerons encore l'expression y/i+aqu'il est difficile de calculer sous cette forme. Observons que, si < est une quantité
très-petite, ^14- s diffère peu de l'unité et que l'on peut poser
x étant aussi une quantité très- petite.
En élevant au carré , on trouve
Développant et négligeant jp 2 , il reste
i = - et vi+i = H
(*) On a calculé quatre décimales, parce que, dans la valeur de -♦ l'erreur n'est que du huitième ordre dte décimales.
NOflONS GÉNÉRALES.
En changeant le signe de e, on aura
On ramènera à Tune de ces deux formes l'expression
V'idz
soit en multipliant haut et bas par ^izhs, car il est utile , en général, de faire disparaître les radicaux du dénominateur, soit en posant, d'après ce qu'on vient de voir,
comme on Ta déjà démontré.
Si le radical se présente sous la forme ^a -+- s , on remarquera qu'il est égal à
\/«.\/i4-- = sja. I H- — ) =sfâ -h — •==.
V « \ 2«/ 2 Ja
De même
2 Sja
Supposons, par exemple, qu'on cherche le cosinus de l'arc dont
le sinus est égal à • La formule ordinaire donne
c IOO
cosx = \/i — sin 2 -r;
mais on peut éviter cette pénible extraction de racine carrée in
posant
sin 2 .r . . sin 2 a: i cos x = î ? et ici = 1
2 2 2UOOO
ce qui rend le calcul beaucoup plus facile.
8. On voit que toutes ces simplifications sont fondées sur ce fait dont nous avons déjà parlé, qu'une fonction se développe suivant les puissances ascendantes de la variable. Cela conduit à la méthode des coefficients indéterminés , qui consiste, étant donnée
une fonction / =/(x) 9 à poser
y = A 4- Bx -f- Cx 2 -h D-r* 4- . . .,
et à déterminer, d'après la nature de la question , les coefficients A, B, C, D, etc.
Les séries de Taylor et de Maclaurin établissent , en général , la forme de ces coefficients d'après celle de la fonction donnée, mais, sans y avoir recours, il est souvent facile de déterminer directement ces coefficients. Ainsi nous pouvons retrouver, par cette méthode , les formules approximatives que nous avons déjà obtenues.
Posons
= A -4- Be 4- Ce 2 4- Ds 3 4- . . . ,
