et A* = 0,l
Ensuite, pour trouver une différence troisième, il faut faire quatre substitutions directes dans l'équation
On posera donc les valeurs de x,
ce qui donnera
jro= l > jr, = — o,233, ^= — 0,408, 73= — o,n3.
On en conclura
Ajo = — 1 , a33 , A' y\ = 1 , o58 et ù?y 9 = — o ,588.
On connaît d'ailleurs
A 4 7o= 0,168, valeur constante.
D'après cela on forme le tableau suivant, comme nous allons le
voir.
0,1ÔÎ , 0,l68
Nous avons donc obtenu , par ces qnatre substitutions directes, la ligne horizontale
qui correspond à
x 99 r», Aj t , A 2 r„, A*r„ à*J*,~
et qui suffit pour trouver les résultats des substitutions de 0,4, o,5, etc.; voici comment il faut faire pour les obtenir. Ajoutez
a*j% = o , 168 avec a 3 > t = — o ,588,
vous aurez
que vous ajouterez encore à
1 quantité connue par les substitu lions v , ce qui donne
Ajoutez encore
(quantité également connue), ce qui donne
Ara = o,345; enfin , ajoutez
^3= —o,n3, vous avez
Xa = o,232 pour x 4 = o,4-
On ira ainsi jusqu'à
y l9 z=zi pour .r, =i,
en faisant toujours usage de la formule
qui provient de la définition des différences contenues dans l'expression
La séparation des quatre racines étant obtenue entre o et i , il n'y a pas lieu de faire remonter le tableau au delà de x = o ; d'ailleurs on savait d'avance qu'il n'y avait pas de racine négative. Cependant, afin de montrer comment on pourrait faire remonter le tableau , si cela était nécessaire , au delà de la première ligne horizontale, nous allons calculer /, pour #, = — o , i .
Remarquons que si l'on connaissait A 3 j, , on le retrancherait de A 3 j pour avoir A 4 /, , que l'on sait d'avance être constant et égal à o, 168 ; on aurait donc
et réciproquement
Suivant toujours le même ordre oblique, on aura
en retranchant — 0,756 de A 7 jr = 1 ,o58, c'est-à-dire en ajoutant 0,756. De même 1 ,8i4 retranché de — 1 ,233, donne
Aj, = — 3,o47;
et enfin , — 3 , <>47 , retranché de r # = i , donne
On trouverait de proche en proche les lignes horizontales supérieures , si cela était nécessaire.
88. Pour séparer les racines, si Ton n'y était pas déjà parvenu, ou pour approcher davantage de ces racines, il faut maintenant, comme nous l'avons indiqué , faire des substitutions dont l'intervalle soit dix fois plus petit.
Nous allons reprendre l'équation
n(n — i),, /» (« — i) (/» — a) A , y u =y. + này 9 + - V — — iA\r.+ -^ ;-^5 A\r.-h. . .
-+-n(n — i) (n — a). . .(/i — m +\) (±x) m A 9 et voir ce qu'elle devient quand on prend une nouvelle différence
Ax
le nombre a étant généralement égal à io.
Nous supposons donc qu'entre les deux mêmes limites x 9 et x n = X qui donnent les valeurs y % et y n = Y, les substitutions soient maintenant en nombre n' = a n ; les valeurs extrêmes X et Y de a: et de y ne changeront pas ; mais les différences des divers ordres ne seront plus les mêmes, et d'abord la nouvelle différence de la variable indépendante sera
Ax
puisque Ton doit avoir
X = x t -h nAx = x -+- /t'A'x,
et que
n' — otti.
Ainsi, en changeant, dans l'équation précédente, n en a/i,
Ax en —5 et en accentuant les différences des divers ordres,
on aura
an (an — i) ,
-+- a/i ( a « — i ) . • . ( « « — iw + i ) — — • A.
'àx} m
Voici donc le problème que l'on doit se proposer :
Connaissant les différences A , A% A% . . . , grtcf correspondent à une certaine valeur de A.r , trouver les différences A', A /2 , A' 3 , . . . , ^«/ correspondent à
Aj:
Pour y parvenir, comparons la valeur précédente de Y à la valeur déjà connue
Y=r +/iAj 4- -i y A' j -+-...
-+•«(/*— i). . .(// — m -hi){Ao:)". A.
Comme ces deux expressions de Y doivent toujours être les mêmes, quelle que soit la valeur de n, on identifiera dans ces deux développements les coefficients de toutes les puissances de n , ce qui donnera un nombre suffisant d'équations pour déterminer A', A'*, A' 3 ,..., en fonction de A, A% A 3 ,....
Nous remarquerons d'abord que Ton trouve dans cette comparaison deux termes qui sont identiquement égaux: d'abord le terme indépendant de n, qui est y 9 de part et d'autre; ensuite le terme (le plus haute puissance en n 7 c'est-à-dire de m iime puissance, qui est d'un côté
et de l'autre
(A*)" A <x.'".n my ~ -A.
On voit que cela revient au même.
En égalant de part et d'autre' les coefficients de n à la première
2^2 CliNTlK SIXIÈME.
puissance , ob aura
A h-=- — ...± 1.2.3. ..(m — i)fAxj"A
On aura en tout m — t équations de cette nature qui détermineront A'»-», A' - *-»,. •• f A'% A', en fonction de A*- 1 , A"-%..., A% A. D'ailleurs , il est clair qne
89. Noos ferons l'application de cette méthode aux équations du troisième et du quatrième degré.
Soit d'abord l'équation dn troisième degré. Les deux développements déjà posés deviennent alors
ait(aff — i) a*. 'a» — i* f a» — a) J
en représentant par J le produit ; Ax)". A qui serait ici ( A*) 3 A. Nous aurons les trois relations
A ha* = alA' 1 |.
la seconde donnera
et la troisième
r*A*=A*— 6* il — -),
Mais si PonTent exprimer A' en fonction de A et de A* sentonent
INTERPOLATIONS. qA$
on trouve, en éliminant A' 2 ,
•*— (-Mî-'H)]-
Si a = i o , on a les formules
i ooo A' 3 = A 3 ,
iooA"==A a Î- = A »6 7
a/ o A* \ni$ 4 o a.» iqv
10 A'=A 2- . 1 — £ — =A il . -L -f-i-il,
io i ioo io 2 io
en posant 7 = ^--
Passons à l'équation du quatrième degré , nous avons les deux développements ,
dans lesquels
On aura les relations
dont les trois dernières reviennent encore à
A 2 A 3 aA' 2 aA' 3 ,. . / I \
On pourrait éliminer A' 3 et A' 7 , afin d'avoir A' 2 et A' en fonction de A, A 1 et A 3 ; mais cela serait moins simple dans la pratique. Si a = 10, ces formules deviennent
IOO A' 3 = A 2 — A 3 4- joo A' 3 -f-
IOO
A 2 A 3 10 A' 2 10 A' 3 tf. 6.000
Mais posons encore 7 = — , et il restera
roooo A ;< = A 4 ,
100 A' 2 = A 1 — A 3 -h iooA' 3 -f- iii?,
Nous terminerons ce numéro par une observation qui s'étend aux équations de tous les degrés à coefficients rationnels, qu'il est toujours facile de ramener à n'avoir que des coefficients entiers , en multipliant par le plus grand commun diviseur de tous les coefficients. Voici cette observation , qui permettra souvent de reconnaître si Ton a commis des erreurs dans le calcul des différences.
Quand on divise une différence d'ordre quelconque par 2,3, 4,5,..., enfin par le nombre qu'indique la formule , pour obtenir A', A'% A' 3 , . . . , cette division ne doit jamais donner de fractions décimales périodiques. En effet, s'il en était autrement, ces différences A'» A' 2 , . • . auraient plus de chiffres décimaux que n'en comporterait la substitution de la valeur correspondante de x dans le polynôme y à coefficients entiers.
