DES TANGENTES

97. I. On nomme tangente à une courbe en un point donné , la limite vers laquelle tend la direction d'une sécante que Ton fait tourner autour de ce point , jusqu'à ce qu'un second point d'intersection, se rapprochant indéfiniment du premier, vienne coïncider avec lui.

Soit

l'équation d'une courbe à laquelle on veut mener une tangente par un point dont les coordonnées sont x' et /'; nous commencerons par transporter l'origine en ce point sans changer la direction des axes ; il suffira pour cela de changer x en x -f- x 1 et y en y -+- y' . La nouvelle équation pourra alors se mettre sous la forme

À.r -f- Bjr -h Cx 2 -f-Dxj +E/ J -f- . . . =o,

en développant tous les termes qui la composent suivant les puissances de x et de y . Nous ne mettons point de terme indépendant des variables, parce que l'origine est devenue un point de la courbe. Il est clair d'ailleurs que les coefficients A, B, . . . , dépendent de x' et y'.

Cela posé, une droite quelconque, passant par cette origine, aura une équation de la forme

y=sax 9

et Ton reconnaîtra que cette droite est tangente si son équation est identique avec celle de la courbe pour des valeurs très-petites de./; et de y. Négligeons donc, dans l'équation de la courbe, le produit et les puissances supérieures de ces variables, nous

aurons

Ax + Bjr = o, ce qui donne

tandis que l'équation de la droite nous donne

lim - = a .

En identifiant, nous trouverons

et l'équation de la tangente sera

Cette méthode serait en défaut si l'on avait à la fois

Il faudrait alors recourir aux ternies du second degré en négligeant ceux du troisième , ce qui donnerait

ou bien