SH

relation qu'il faudrait identifier avec le produit (y — ax) (y — afx) des équations de deux droites, ce qui donnerait

(sy -(•+«')£+-'=•»

{•) Soit

te coefficient angulaire de la tangente , on voit que cela revient à écrire

ày ' = £•

Ici m est la valeur particulière du coefficient a quand la sécante devient tangente.

on poserait donc

aa! =r — » a -+- u' = — — 5 E E

d'où l'on tirerait les équations des deux tangentes aux deux branches que la courbe présenterait à ce point particulier.

Si les termes du second degré étaient nuls en même temps que ceux du premier degré , on aurait recours aux termes du troisième , et ainsi de suite.

Si le point donné était l'origine , comme on peut toujours le

supposer ainsi qu'on vient de le voir, l'indétermination de z= — -

tiendrait à ce que les valeurs * = o, y = o mettraient z sous la

forme - : on peut alors lever cette? difficulté en posant

- = t = tango»,

ce qui fait disparaître les facteurs communs au numérateur et au dénominateur de z, et donne l'inclinaison de la tangente pour chaque branche en particulier, suivant la valeur de w, si Ton représente par e* l'angle que fait avec Taxe des x le rayon vecteur passant par l'origine , dans le cas d'axes rectangulaires.

II. On parvient d'ordinaire à l'équation de la tangente par la théorie des dérivées , c'est-à-dire par le calcul différentiel. Cette méthode ne diffère pas essentiellement de la précédente , mais elle permet de calculer plus facilement les coefficients dont nous avons parlé.

Soit T af y* un terme quelconque de l'équation

il s'agit de mener une tangente à la courbe par le point dont les coordonnées sont x et y ; celles du point infiniment voisin étant .r -f- h , y -fr- k , et tout se réduit encore à déterminer la limite du rapport de l'accroissement de ces variables , c'est-à dire

hm 7h

Nous trouverons cette limite en cherchant la différence

dans laquelle il suffira d'étudier ce que donnera le terme quelconque

T(x-i- à) m (x -+- *)" — Tx" y tt .

Les termes qui contiendront les premiers degrés des accroissements seront

dont le premier représentera le produit de k par la dérivée de T x m y* relativement à j, et le second le produit de h par la dérivée de T X™ jr n relativement à x.

Comme il en serait de même pour tous les termes de l'équation

soient Xet Y les dérivées de/(x, r) prises respectivement par rapport à x et à y, nous aurons pour l'ensemble des termes du premier degré

Y*-bX/i

ou bien , posant — = z , il reste

A(zY-t-X).

On obtiendra de même , pour les termes du second degré ,

L'ensemble de ces termes sera donc

Y' X' /Y' X'\ — k 2 -+• M kh H A 2 , ou bien A 2 — z' + MH 1 1

en indiquant par X' et Y' les secondes dérivées def(x 9 y) par rapport à x et à y, et par M la somme des produits analogues à, T mx™— 1 . ny*~ x obtenus en prenant la dérivée par rapport à x , puis par rapport à jr.

L'ensemble des termes du troisième degré sera de même

la loi de formation des termes N et P étant facile à établir : on trouverait de même les termes de tous les degrés. Donc enfin l'équation

f(x + h) ( r -M)-/(x f/ ) = o se réduit à

Y«-bX-M ( — z J -4-M*H

— - 2 *-l-Ns»-+-Ps4-— 5) -h • . . =o,

en divisant par le facteur commun à.

Si maintenant on pose h = o, il reste pour le coefficient angulaire de la tangente

uni T =z= — — ?

puisque Ton a

Si Ton avait à la fois Y = o , X = o , on diviserait encore toute l'équation par h , après quoi , faisant encore h = o , il resterait

-2 2 + MH = 0,

ce qui donnerait les deux valeurs de z pour les tangentes aux deux branches qui se rencontrent en ce point de la courbe.

Dans ce cas, il peut se faire que les racines de cette équation du

(*) L'équation de la courbe étant

on a ainsi

dr \dx)

comme on le voil d'ailleurs par la relation

second degré soient égales : cela veut dire que les deux branches

ont une tangente commune à leur point commun.

Outre les relations

X = o, Y = o, si Ton avait encore

Y'z=r.o, M = o, X' = o, il faudrait recourir aux termes du troisième degré, et poser

— - 2 » + Nz' + PH x = o ,

pour trouver les tangentes aux trois branches qui se coupent au point en question ; si les coefficients de cette équation étaient nuls en même temps que tous les précédents , on prendrait les termes du quatrième degré, et ainsi de suite (*).

III. Cependant il est toujours facile de trouver immédiatement l'équation qui donne la valeur dez, au moyen de la seule expression

même quand X et Y deviennent nnls à la fois. On a vu (40) que , pour trouver la vraie valeur d'une quantité qui se présente sous

la forme de — > on cherche à mettre un facteur commun en évio

clence au numérateur et au dénominateur. Soient donc x et y les coordonnées du point de contact qui rendent z indéterminé : nous remplacerons x par x -+- h et y par y -\- k z=. y -^ hz dans X et Y, et nous savons d'avance que le numérateur et le dénominateur deviendront ensuite divisibles par h ; nous supprimerons donc ce facteur autant de fois qu'il sera commun en haut et en bas. Après

( * ) Les équations en t x et en z 3 reviennent à

dr'

dydx

dy " "

dy * doc

dr dr*

dx* On voit comment se InitiioraiiMil les équations suhantos.

268 ca&i»iTftE sErniME.

cela 9 pour revenir au point de contact , nous ferons de nouveau h = o , et il nous restera une équation en z d'un degré plus ou moins élevé.

Après qu'on a remplacé x par x -f- h et j- par j- + zh 9 les expressions X et Y peuvent être regardées comme des fonctions de //, et représentées par y (h) et \ (h], dont les dérivées par rapportât seront f [h] et -{/ (A), qui deviennent f'(o) eti|/ (o) quand on y lait h = o : il faut donc poser

Si pourtant h était encore facteur commun dans f ' ( h) et dans $'(à) f on aurait

et ainsi de suite.

Cette méthode sera en défaut si z doit être infini , c'est-à-dire si la tangente est parallèle aux ordonnées. En effet , l'accroissement h de l'ordonnée pourra encore être regardé comme nul , mais s'il se présente dans les quantités X ou Y, transformées comme on vient de le voir, un terme tel que hz* = Az, on voit que ce terme sera indéterminé quand z sera infini.

Par conséquent, pour obtenir les tangentes parallèles à Taxe des y, et que cette méthode ne donnerait point dans le cas d'indétermination, remarquons que , si

uni - = oc ,

h on a nécessairement

Tout se réduit donc à répéter les calculs précédents après avoir changé y en x et réciproquement, puis à voir si la nouvelle équation en z , dont les racines seront évidemment inverses de celles de la première, aura une racine nulle, ce qui donnera pour la tangente cherchée un coefficient angulaire égal à l'infini.

Tontes ces circonstances se présentent dans l'étude de la courbe

dont l'équation est

y 3 — 3 axy -f- x 3 =: o ,

courbe bien connue sous le nom de Folium de Descartes , parce

qu'elle présente l'apparence d'une feuille , et dont l'analyse se

trouve dans la plupart des Traités de Géométrie analytique (*).

X = 3 x 7 — 3tf/, Y=3/ 3 — 3ax 9

ce qui donne

ay — x 2

y 1 — ax

Cherchons la tangente à l'origine, il reste

nous devons donc changer x en x -f- h et y en y -+- hz , mais ici

ainsi il faut changer x en h et y en hz , ce qui donne

ahz — h 2 nz — h

h 7 z 2 — ah hz — a

Maintenant, faisons h r= o; il vient

ce qui donne

Ainsi Taxe des x est tangent à l'une des branches passant par l'origine qui est un point double.

Mais on peut croire que Taxe des y est tangent à l'autre branche i

c'est en effet ce qui a lieu, et il est facile de trouver cette autre tangente en changeant x en y, et réciproquement, pour avoir

l'équation dont les racines sont— Comme l'équation de la courbe

est symétrique en x et en j, il n'y a pas de nouveaux calculs à faire

(*) Voir l'ouvrage de MM. Delisle et Gcrono , n° 298,

et Ton trouve

- = * on bien - =0

et par suite