coscs
^^ et T,, étant des quantités positives cet angle sera
aigu si 'lr^^ > 9,,
obtus si
droit si •l■^\^
nul si
Ml
Si 71, était plus grand que 5,, la formule précédente conduirait à une valeur du cosinus plus grande que 1 et deviendrait illusoire. Laplace admet que, dans ce cas, le liquide mouille le solide et que celui-ci se recouvre d'une gaine liquide, de telle sorte que tout se passe comme si 9, et 7), étaient égaux.
36 THÉORIE DE LAPLAGE
Comparons ces résultats à ceux que Laplace a obtenus dans son premier Mémoire. Des conclusions trouvées (10) et (11) il résulte que l'angle est
aigu si obtus si droit si
nul si p = p'.
Ces résultats ne diffèrent donc de ceux du second Mémoire ([ue par la substitution de p à 'f\^ et de p' à 6^. Ils sont identiques si p et p' sont respectivement proportionnels à v], et 0^ . Or, c'est ce qui a lieu si, comme l'admet Laplace, les lois d'attraction des molécules solides sur les molécules liquides sont les mêmes que celles de l'ai Iracl ion des molécules liquides entre elles, les intensités des forces attractives ne différant que par un facteur constant.
18. Nouvelle manière d'obtenir l'équation de la surface libre. — Nous avons vu comment Laplace obtient l'équation de la surface libre d'un liquide dans le voisinage d'un paroi solide
flit + iî;)- («)
Disons maintenant quelques mois d'une autre méthode employée par Laplace pour arriver à cette équation.
Dans l'état d'équilibre, les forces s'exerçant sur une molécule de la surface du liquide ont une résultante normale à cette surface. Par suite, le travail virtuel résultant d'un déplacement d'une molécule superficielle dans le plan tangent à la surface libre doit être nul. Le travail virtuel de
MANIERE D OBTENIR L EQUAT. DE LA SIRFaCE LIBRE 37
la pesanteur est glz; si nous désignons par 8J celui des forces capillaires, nous aurons
g'^jz -|- SJ = o,
et pour avoir 8J il suffira de considérer la composante tangentielle des forces capillaires, le travail de la composante normale étant nul dans le déplacement virtuel considéré.
Prenons un système d'axes de coordonnées ayant pour origine un point O de la surface libie, Oz étant la normale à la surface, Ox et Oy les tangentes aux indicatrices du point O. L'équation de la surface rapportée à ces axes est
z ^ ax"^ 4" ^y^ + cvr-'' -f- 'àex'^y -f- 'àfxy'^ -f- hy^ + • ■ ,
et celle du paraboloïde osculateur
z = ax'^ -\- by^.
L'attraction exercée parle liquide limité par ce paraboloïde sur la molécule située en 0 est évidemment, par raison de symétrie, dirigée normalement k la surface. Pour avoir la composante tangentielle des forces capillaires s'exerçant en 0, il suffit donc de considérer le liquide com- ]>ris entre la surface libre et le paraboloïde osculateur.
Dans le plan des xy prenons un élément de surface ABGD (/?</. 10), pio. 10.
limité, d'une part, par deux arcs de cercle AB et CD ayant pour rayons p et p -f- c/p, et, d'autre
38 THEORIE DE LAPLAGE
part, par deux droites passant par l'origine et faisant des angles 6 et 0 -f rfô avec Ox.
Menons par le contour de cet élément des parallèles à la normale en 0. Nous obtenons un cylindre découpant sur la surface libre S du liquide un élément G et sur la surface S du paraboloïde osculateur un élément G'. La portion du cylindre comprise entre G et G' est un élément du volume dont nous avons à chercher la composante tangentielle de l'attraction sur 0. En désignant par z et par 2^' les distances des éléments G et G' au plan des xy, on a pour le volume de cet élément
du ^= [z — z') p dOdç),
z — z ayant pour valeur
z — z' = cx^ -\- Sex^y ~\- Sfxy^ -f" %' "f ' • • •
Pour que ce volume du exerce une action appréciable sur O , il faut que sa distance à ce point soit inférieure au rayon d'activité moléculaire. Si ce rayon est considéré comme un infiniment petit du premier ordre, x ei y doivent être également du premier ordre, et alors z et z' sont du second. On peut donc considérer tous les points du petit cylindre FG' comme étant à la même distance du point O, c'est-à-dire admettre que tous les points de l'élément du sont aune même distance p de O. Pour les mêmes raisons, on peut regarder toutes les droites joignant le point 0 aux divers points de du comme formant le même angle 9 avec l'axe des x. Par suite, la composante suivant cet axe de l'attraction exercée par d^l sur le point O a pour expression
dii f (p) cos 9,
MANIÈRE d'obtenir l'ÉQUAT. DE LA SURFACE LIBRE 39 et celle du volume compris entre la surface libre et le paraboloïde est
fdu r{?) cosô =J{2 — z')?r {?) <^os e dh dz,
5 variant de 0 à 2it et p de 0 à la valeur du rayon d'activité moléculaire, ou, ce qui revient au même, de 0 h x .
Or, " ~^ " ne dépend que de 0, car
- = cos9, ^=:sinO,
et par suite
^ ~^ = c cos3 f) -{- 3^ sin 6 cos^ 9 + 3/'sin2 9 eos 9 -f /? sin^ 0. L'intégrale précédente peut donc s'écrire 1^-=^ cos>i dojyr 'pjd?.
Si nous appelons B la valeur de l'intégrale définie par rapport à 3 et si nous effectuons l'intégration par rapport à 9, il vient
C fcos^ OdB -\-Se cos3 9 sin 9 dO -f Sf-J cos=»9 sin^ô de
r^'^ . , , 3- , Stt ^ 37: . , ^. -[- hj cos 0 sinHdO = - c + -- /^ = — (c -f- /)
et pour la double intégration
40 THÉORIE DE LAPLAGE
De la même façon, nous trouverions pour la composante suivant Oy de l'attraction cherchée
et, par conséquent, nous avons pour le travail virtuel des forces capillaires
li = ^-^[[c-^f)lx + [e-^h)Zy].
Il reste encore à introduire les rayons de courbure. Or,
on a
R^ "•" Rg \dx dy
et
dz dz dx dy^
\/(l)V(ïy^""V(sy +(!/+'■
Mais X e\, y étant des infiniment petits du premier ordre, les dérivées
dz
- = 25t/ + ^ex^ + Ç^fœy + ^hy\
sont aussi du premier ordre. Par suite, leurs carrés sont négligeables vis-à-vis de l'unité, et l'on a approximativement
dz dz
dx dy
MANIÈRE d'obtenir l'ÉQUAT. DE LA SURFACE LIBRE 41 Il en résulte
— --'ia -{- Qex -f- 6ey,
CiJC
