Transformation de l'équation d'équilibre
Transportons les valeurs précédentes de W et W< dans la
AU relation (1) en négligeant, d'ailleurs, le terme — qui disparaît quand on prend les variations; il vient
Si nous désignons par S la portion de la surface S qui n'est pas en contact avec le solide, nous avons
et l'équation précédente devient
Calculons la variation de chacun des termes de la quantité entre crochets.
Soit AB une des surfaces limitant le fluide dans sa position d'équilibre (/?^. 13) et soit A,B^ sa position après le déplacement. Ces deux surfaces comprennent
entre elles un petit volume que nous dé- FiG. 13.
composerons en éléments de volume en
menant par le contour de chaque élément de de la surface
^It ^^^
MF
TRANSFORMATION DE l'ÉQUATION DÉqUILIBRE 49
AB des normales MM, W à cette surlace. En désignaalT par À la longueur de MM', le volume de rélûnient a pour
expression
(h = ïch.
Le terme g\]z est le moment du poids du liquide par rapport au plan xy. Sa variation est donc le moment du volume compris entre la surface d'équilibre du fluide et sa surface après le déplacement ; par conséquent
8 {q\}z) = Çgzld<5.
Pour avoir la variation du second terme comparons les aires S et S, des surfaces AB et A,B, comprises entre les lignes de raccordements L et L, de ces surfaces et des parois solides; nous avons
oS = S, — S.
Si nous menons par les points de L les normales AA', BB' à la surface AB, ces normales coupent la surface A^B^ suivant une ligne A'B' limitant une aire S' de cette surface. En appelant S" l'aire comprise entre A'B' et A^B,, nous pouvons écrire la variation de S
Bs = S- -f i:" — S r= yi" -{-fd^y —fda
Comparons les surfaces da et d<j' des éléments MN et M'N', Pour cela, supposons que les côtés de l'élément MN appartiennent aux deux lignes de courbure de la surface AB passant par le point M. Les lignes de courbure se coupant à angle droit, nous aurons
d<: = MN X MP,
MN et NP étant [flg. 14) les deux côtés de l'élément. Les normales menées par les points de MN et de MP coupent la surface S^ suivant deux lignes M'N' et M'P' sensiblement rectangulaires ; w par suite
dr: = MN X M'P'.
Les points M et N appartenant à une même ligne de courbure, les normales en ces points se coupent en un point C. En désignant par R^ le rayon de courbure MC, on a
Fie 14.
MN=:aR, M'N' = a(R, +X),
a étant l'angle des normales en M et en N ; car MN' est sensiblement perpendiculaire aux deux normales. On en tire
