ÉQUATION DE LA SURFACE LIBRE

22. Équation de la surface libre. Angle de raccordement. — Cette équation doit être satisfaite quelles que soient les valeurs données à À, pourvu que celles-ci soient compatibles avec les liaisons. Or, le liquide a été supposé incompressible. Par conséquent, la somme algébrique des variations de volume résultant du déplacement virtuel des surfaces limites doit être nulle. Nous avons vu dans le numéro précédent que le volume d'un élément compris entre la surface d'équilibre et celte surface déformée est ch = Ida. Par suite, l'incompressibilité du fluide conduit à la condition

\dfs = o. (6)

Si nous tenons compte de cette éo^alité, la relation (5) sera satisfaite pour une valeur quelconque de X compatible avec les liaisons si

^M — ^ — ^coso = 0, (8)

K étant une constante.

Ces conditions sont, en effet, suffisantes, car, si elles sont remplies, le second terme de (5) est nul, et le premier se réduit au produit d'une constante par l'intégrale de Ida, laquelle est nulle d'après (6).

Montrons qu'elles sont nécessaires, c'est-à-dire que, si elles ne sont pas remplies, on peut s'arranger de telle sorte que la relation (6) soit satisfaite et que la relation (5) ne le soit pas.

En premier lieu, admettons que

n'est pas une constante. C'est alors une fonction des coordonnées qui présente au moins un maximum et un minimum, puisqu'elle s'applique aune surface limitée. Si donc on prend pour K une valeur comprise entre ce maximum et ce minimum, la fonction

•"'--Kil^+iT;)-'^ (9)

est tantôt positive, tantôt négative. Donnons à X une valeur nulle tout le long de la courbe de raccordement et des valeurs du même signe que la différence précédente en tout autre point de la surface. Ces valeurs peuvent toujours être choisies de manière que la condition (6) soit satisfaite. S'il en est ainsi, on aura

KÀ(/(J ^ o

et par suite

\di

iL--l(RVRl)]-=/i-4'(u>s;)-'^]'

Mais, par hypothèse, X est toujours du môme signe que la différence (9). Par conséquent, l'élément de cette dernière intégrale est positif, et cette intégrale ne peut s'annuler. Au contraire, la seconde intégrale de (5) est nulle, puisque la valeur de X est zéro le long du contour d'intégration. La relation (3) ne peut donc être satisfaite, dans les conditions où