Passons au cas où le point P est intérieur à la sphère

T.orsque la distance du point à la surface de la sphère est finie, l'action qu'exerce sur P une molécule extérieure à la sphère est négligeable, puisque la distance de cette molécule au point P est alors supérieure au rayon d'activité moléculaire. Nous pouvons donc, sans rien changer à la valeur du potentiel en P, remplacer la sphère par une autre sphère de même matière, ayant un rayon infini et son centre en P. Décomposons cette sphère en couches sphériques concentriques de rayon r et d'épaisseur dr. Le potentiel en P d'une de ces couches est

afV — ATy^dr<sf{r).

Par suite, le potentiel de la sphère entière est Y = fAnv''-dr'^{r).

Cette intégrale est une constante A. Le potentiel d'une sphère pleine en un point intérieur, situé aune distance finie de sa surface, est donc une constante.

Supposons maintenant le point à une distance excessivement petite e de la surface. En décomposant la sphère en couches concentriques infiniment minces, le point P est exté-

8 THEORIE DE LAPLAGE

rieur aux unes et intérieur aux autres. Le potentiel de chacune d'elles est représenté par la formule (1), où r^ doit être remplacé par a — p ou p — a, suivant que P est extérieur ou intérieur à la couche considérée. Le potentiel de la sphère entière est donc

Considérons la première intégrale. En posant z = a — p, elle devient

Stt ^ (z) dz = 1 2t: ^ {z) dz / 27:2- J> [z] dz.

Puisque a est fini et que la fonction <]; est sensiblement nulle pour toute valeur finie de la variable, on peut remplacer les limites supérieures a des intégrales du second membre par l'infini ; par suite, ces intégrales sont des constantes et il en est de même de la première intégrale de l'expression de V.

La seconde intégrale de cette expression devient, en posant p — a = z

I 27J li-^ ^ {z) dz= i 27c<|/ [z) dz -f- -j\-KZ'i^ (z) dz. t/ 0 ty 0

Les deux intégrales du second membre sont celles que nous avons eu à considérer dans le cas où P est extérieur à la sphère. Par conséquent, toutes deux sont des fonctions de e. Si nous faisons entrer dans l'une de ces fonctions la constante qui représente la valeur de la première intégrale