Potentiel dû à un liquide de densité variable

En 1831, l'année qui suivit la publication du mémoire de Gauss, Poisson faisait paraître sa Nouvelle Théorie de l'action capillaire ^ dans laquelle il reproche à Laplace de supposer

constante la densité du liquide. Le même reproche s'applique à la théorie de Gauss.

Par des calculs pénibles, Poisson est parvenu à démontrer qu'il était impossible d'imaginer un système de molécules liquides en équilibre sous l'action de leurs attractions mutuelles sans que la densité variât, et que, si l'on tient compte de cette variation de densité, on retombe néanmoins sur l'équation de Laplace pour la surface libre avec cette seule différence que les deux constantes qui y entrent ont une signification plus complexe.

Fort heureusement il n'est pas nécessaire de reprendre l'analyse de Poisson pour arriver à ce résultat. Nous y parviendrons plus simplement.

Cherchons le potentiel d'un liquide de densité variable en un point M très voisin de sa surface libre S, [fig. 16). De ce point, abaissons la normale MP^ sur la surface. Si l'on se déplace sur cette normale vers l'intérieur du liquide, la densité varie d'une manière continue dans le voisinage de la surface libre, puis prend une valeur constante.

Par divers points Pj, P3, P., de cette normale menons les surfaces d'égale densité Sj, S3, S^. Nous supposerons pour l'instant que la densité varie d'une façon discontinue, quand on traverse ces surfaces, et conserve une valeur constante dans l'espace compris entre deux d'entre elles.

Soient p^, pj, P3 les valeurs de la densité entre S, et Sg, entre S^ et Sg et entre S3 et S, ; au-delà de Sj nous admettrons que la densité p^ est constante. Nous pouvons supposer

FiG. 16.