POTENTIEL DU A UN LIQUIDE DE DENSITE: VARIABLE

la couche de densitr p, limitée par S,, d'une part, mais s'éleiidant jusqu'à Tinfini, d'autre part, à la eondiliou d'ajouter une couche de densité uniforme p^ — p| depuis Sj jusqu'à l'infini, une autre de densité p3 — pa depuis S3 jusqu'à l'infini et enfin une couche de densité p^ — p3 depuis S^ jusqu'à l'infini. La recherche de potentiel en M se trouve dès lors ramenée à celle du potentiel di^ à divers volumes de densité constante.

Or, nous savons que le potentiel d'un liquide de densité constante et égale à 1 est

Comme 0^ est très petit par rapport à 6, nous pouvons négliger le second terme, et nous avons pour le potentiel d'un liquide de densité p

V = pe(6).

Posons

MP, = e, P.Pa-C^, P,P3=C2, P^P4 = ^3;

nous obtenons pour le potentiel en M

V=P^Ô(e)+(p2-p.)5(e+Ç,)+(P3-P2)Sl^+^2)+{P4-P3)9(e+^.) ou en posant

V = (p, - po) e (e + g + (p2 - p,) 6 (e + Q -f ...

ou encore

v = 2(p.--p/-i)Ms + C/-;).

Par conséquent, si nous supposons maintenant que la densité varie d'une manière continue

V =fc/p e (e + C). ■ (10)

Remarquons que la position du pied P, de la normale abaissée du point M peut être déterminée sur la surface S< à l'aide de deux coordonnées a et p. La position d'un point tel que P^ dépend, en outre, de la valeur de la densité. Par conséquent, la quantité Ç^, qui fixe la position de ce point, est une fonction de a, ^ et de la densité p du liquide.

24. Surface libre et angle de raccordement dans le cas d'une densité variable. — L'hydrostatique nous apprend que, dans un fluide en équilibre, les surfaces d'égale densité coïncident avec les surfaces d'égale pression. Or, nous avons trouvé (7), sans faire aucune hypothèse sur la densité, que la pression en un point d'un fluide pesant est donnée par l'égalité

j) = Y -\- gz -\- const .

Les surfaces d'égale pression et, par suite, les surfaces d'égale densité dans un fluide en équilibre ont donc pour équations