V -f-^^ = const

Mais on peut négliger ^^ par rapport à V. Pour le faire voir, revenons au cas où la densité est constante ; on a alors

SURFACE LIBRE ET ANOLE DE RACCORDEMENT 59 et l'équation de la surface libre est

Donc gz est, pour la surface libre, de l'ordre de 0, (o), tandis que Y est de l'ordre de 0. Quand on passe au cas d'une densiti' variable, l'ordre de grandeur de V ne peut changer sensiblement. De même pour les gz de la surface libre. Comme, d'ailleurs, la densité n'est variable que dans le voisinage de la surface libre, les ^3- des surfaces d'égale densité seront également du même ordre de grandeur. Par conséquent, on peut écrire les équations (11)

V = const.

Montrons qu'il est possible de satisfaire à cette condition en supposant les surfaces d'égale densité S^, So, S3. S^ parallèles entre elles.

En effet, quand les surfaces sont parallèles, Ç, , Co, ■ • • , ont la même valeur en tout point de ces surfaces et , par conséquent , ne dépendent pas des coordonnées x et ,3. ils ne dépendent que de p. Si donc le point M appartient à l'une de ces surfaces, £ sera constant et 0 [t -j- ^) ne dépendra que de p. Par suite, en effectuant l'intégration de (10) entre la valeur ç^ de la densité au point considéré et sa valeur constante 1 à une distance sensible de ce point, on obtiendra une constante. Le potentiel est donc constant le long des surfaces d'égale densité et la condition d'équilibre est satisfaite.

Ne connaissant pas la forme de la fonction 6, il nous est

impossible de démontrer qu'il n'y a pas d'autre solution au problème. Nous l'admettrons sans démonstration.

Mais, si le potentiel V est une constante quand e est constant, ce potentiel est, en général, une fonction de s seulement. Elle devient nulle quand e est fini, car dans ce cas e + ^ est également fini et l'élément d'intégrale 6 (e + C) dp est nul. Quand le point est intérieur au liquide et à une distance sensible de sa surface, e est négatif et fini, et, comme Ç est toujours très petit, e -|- ^ a une valeur finie négative. Or, nous avons démontré que 6 ( — e) = A — 6 (e); par conséquent, 6 (e -f- C) se réduit à une constante, et il en est de même de l'intégrale V. En un mot, le potentiel V est une fonction de e jouissant des mêmes propriétés que la fonction ô(e) qui représentait le potentiel dans la théorie de Laplace et celle de Gauss. Comme, dans cette dernière théorie, il n'est fait usage que des propriétés de cette fonction, il est évident que nous arriverons aux mêmes conclusions que celles que nous avons trouvées, en remplaçant partout la fonction 6 (e) par la fonction V = 0' (e). La surface libre et l'angle de raccordement sont donc donnés par les mêmes équations.

Nous reviendrons plus tard sur d'autres théories de la capillarité tout à fait indépendantes de l'hypothèse des forces centrales. Nous allons maintenant appliquer les résultats trouvés précédemment.

Nous observerons seulement pour le moment que la théorie, dite de la tension super/tcieUe, conduit identiquement au même résultat que celle de Gauss et, par conséquent, que celle de Laplace.

Et, en effet, dans un déplacement virtuel quelconque, le travail de cette tension sera proportionnel à 8S, c'est-à-dire

SURFACE LIBRE ET ANGLE DE RACCORDEMENT Gl

qu'il aura précisément la même expression que le travail des attractions moléculaires dans les hypothèses de Laplace et de Gauss.

L'expérience ne peut donc décider entre la théorie de l'attraction et celle, plus récemment en faveur, de la tension. Tous les faits prévus par l'une seront, en efft't. également prévus par l'autre.