COURBURE MOYENNE DE LA SURFACE

La condition d'équilibre se réduit donc à celle-ci: — -^ S

doit être maximum ; ou encore : ïl doit être minimum. Or, dans le cas d'une seule lame, la surface libre S se compose des deux faces de la lame dont les surfaces sont très sensiblement égales, si l'épaisseur est très petite. Par conséquent,

pour qu'il y ait écjuilibre stable, il suffit que la surface — de l'une de ces faces soit minima.

Cette conclusion peut être facilement vérifiée expérimentalement par l'expérience suivante due à Van der Mensbrug'ghe. On plonge dans le liquide, le liquide glycérique de Plateau, par exemple, un cerceau métallique ABC {fig. 17) soutenu par trois fils. On retire le cerceau et sur la lame plane obtenue on place avec précaution un anneau de fil df coton fin préalablement mouillé avec le même liquide. Ce fil prend une forme quelconque ; mais, si l'on vient à crever la lame au milieu de l'anneau qu'il forme, le fil se tend brusquement et devient circulaire. Or, de toutes les courbes de même périmètre, la circonférence est celle qui limite la plus grande surface. L'aire comprise entre la circonférence D et le contour de l'anneau métallique est donc minima lorsque le liquide est en équilibre.

26. La courbure moyenne de la surface doit être nulle dans l'état d'équilibre. — Soit AMB {fig. 18 l'une

des faces de la lame liquide. Menons une surface A^M'B^ très voisine et parallèle. Si AMB est une surface minima, les aires AMB et A^M'B, doivent être égales aux infiniment petits du second ordre près. Menons par le contour de AB des normales à cette surface ; ces normales découpent dans la surface A^M'A, une aire S' et, si l'on désigne par S" Taire annulaire comprise entre la ligne A'B' et la ligne A^B,, la condition précédente s'exprime par

Or, nous avons trouvé précédemment (^21)

smï

X étant la longueur de la normale, da l'aire d'un élément MN de la surface AB, ds la longueur d'un élément de la courbe de raccordement de AB, et cp l'angle de raccordement. Par conséquent, on doit avoir

et, puisque cette condition doit être satisfaite, quel que soit À, il faut que :

COtgcp = o.

L HELICOÏDE EST UNE SURFACE d'eQUILIBRE G^i

Les deux rayons de courbure principaux de la surface doivent donc être égaux et de signes contraires. Les surfaces jouissant de cette propriété ont reçu la dénomination générale de surfaces minima.

L'égalité cotg cp = o exprime que l'angle de raccordement doit être droit. Mais, comme la direction du plan tangent à un fil est quelconque, cette condition revient à dire que la surface passe par le fil.

En résumé, le problème proposé consiste à déterminer la surface minima passant par un contour donné.

27. L'hélicoïde est une surface d'équilibre. — Soit OM [fig. 19) une droite perpendiculaire à OZ assujettie à se mouvoir en s'appuyant constamment sur OZ et sur une hélice AB tracée sur un cylindre de révolution ayant OZ pour axe. La surface engendrée par OM est un hélicoïde.

Pour montrer que c'est une surface minima, il suffit de faire voir qu'il existe en chaque point deux lignes a^ymplotiques perpendiculaires entre elles. Or, ^ f • io l'une des lignes asymptotiques en M est

évidemment la droite OM elle-même, toute génératrice rectiligne d'une surface étant toujours une ligne asymptotique. L'autre est l'hélice AB, car on peut définir les lignes asymptotiques en disant que leur plan osculateur se confond avec le plan tangent à la surface. Or, le plan osculateur à une hélice est toujours normal au cylindre sur lequel cette hélice est tracée. Il passe donc par la droite OM, et, comme il passe aussi par la tangente à l'hélice, il se confond avec le plan

tangent à l'hélicoïde. Comme ces deux lignes sont perpendiculaires, puisque le cylindre est de révolution, la surface est bien une surface minima.

M. Schwarz a pu réaliser expérimentalement cette surface d'équilibre. Pour cela, il tend un fil suivant l'axe AB [Jîg. 20) d'un cylindre de verre au moyen de deux fils métalliques CD et EF s'appuyant sur les bases du cylindre. Ces deux fils étant parallèles, il forme une lame plane s'appuyant sur les trois fils AB, CD, EF. En tournant CD, ^^^^p la lame se déforme et engendre une surface ECDF passant par AB et coupant normalement la surface du cylindre.

Cette surface est un hélicoïde.

Avec quelques précautions on peut obtenir ainsi une surface à plusieurs spires. Si on supprime le fil vertical AB, l'hélicoïde n'en reste pas moins une surface d'équilibre, mais alors l'équilibre n'est plus stable et il est impossible d'obtenir expérimentalement une surface à plusieurs spires. M. Schwarz a même constaté que si, après avoir formé une telle surface à l'aide du fil central, on coupe ce fil, la lame hélicoïdale disparaît et se transforme en deux lames planes fermant les bases du cylindre de verre.