Le caténoïde est une surface d'équilibre
Cherchons la forme de la surface d'équilibre d'une lame liquide s'appuyant sur deux circonférences A et A' {^fig. 21) dont les plans sont perpendiculaires à la droite 00' qui joint leurs centres.
LE CATÉNOÏDE EST UNE SURFACE d'kQUILIBRE 67
Celte surface doit être de révolution autour de 00'. Lun des rayons de courbure principaux au point M est alors le rayon MN de la circonférence d'intersection de la surface par un plan perpendiculaire à l'axe 00' ; l'autre est le rayon de courbure M(] de la courbe méridienne AMA' de la surface. La forme de cette courbe doit
donc être telle que l'on ait jNIN = MC, et en exprimant cette condition on aura l'équation de cette courbe.
Mais il est plus simple d'écrire que la surface engendrée par cette courbe doit être minimum.
En effet, soient / la longueur de la courbe et GP la distance de son centre de gravité G à l'axe 00'. D'après le théorème de Guldin, la surface engendrée par cette courbe est 27:/.GP. Il faut comparer la méridienne AMA' de la surface d'équilibre à d'autres courbes passant par les points A et A' et pour lesquelles le produit /.GP doit être plus grand que pour la courbe AMA'. Mais nous pouvons nous borner à faire la comparaison avec celles de ces courbes qui ont même longueur l que la courbe AMA'. Le minimum de notre produit a lieu en même temps que celui de GP pour des courbes de même longueur l. Par conséquent, la courbe cherchée est celle pour laquelle le centre de gravité est le plus rapproché de 00', c'est-à-dire le plus bas possible si l'on suppose la courbe AMA' dans un plan vertical. Or, c'est ce qui arrive pour une ligne pesante soumise à l'action de la pesanteur, et la forme de cette ligne est une chaînette. En tournant autour de 00', cette chaînette engendre une surface que l'on appelle caténoïde.
Le caténoïde est donc une surface d'équilibre d'une lame mince.
29. Sur la stabilité de l'équilibre. — Pour que l'équilibre soit stable, il faut que l'énergie potentielle passe par un minimum relatif. Par conséquent, la condition de la stabilité de l'équilibre est que la surface S soit un minimum relatif. Or, en exprimant que la courbure moyenne d'une surface est nulle, nous écrivons seulement que la variation du premier ordre est nulle. Pour qu'il y ait minimum relatif, il faut, en outre, que la variation seconde soit également nulle. 11 y a une discussion assez délicate qui a été faite de la façon la plus élégante par M. Schwarz.
La considération des lignes géodésiques va nous servir d'exemple simple pour nous aider à comprendre l'esprit de
la méthode.
Soit AMB [fig. 22j une ligne géodésique d'une surface. S'il est possible de mener une ligne géodésique très voisine A'M'B' ne coupant pas la première, AMB est un minimum relatif.
En effet, considérons une ligne quelconque AM'B tracée sur la surface et aboutissant aux points A et B. Cette ligne rencontre la ligne géodésique A'M'B voisine de AB en un point M'. Menons par M' une trajectoire orthogonale coupant AB au point M et par un point N infiniment voisin de M menons une seconde trajectoire orthogonale. Celle-ci rencontre la ligne géodésique A'M'B' en N', et les deux segments MN et M'N' sont égaux. Le segment correspondant M'N, de
FiG. 22.
SLR LA STABILITÉ DE l'ÉQUILIBRE 69
la courbe AM'B est plus grand que MN', puisque le petit triangle M N'N< est rectangle en N". Par conséquent, k chaque élément de la ligne géodésique AMB correspond un élément de plus grande longueur de la ligne AM'B et celleci est plus grande que la première. La ligne géodésique est donc bien un minimum relatif.
Les surfaces minima présentent une propriété analogue. Avant de l'établir, montrons (jue, si on trace un tube coupant orthogonalement une série de surfaces minima, les aires des sections de ces surfaces par le tube sont égales entre elles.
En effet, si I! et Z' sont deux surfaces minima voisines coupées par le même tube T \fig. :23}, la différence des aires S' et S des sections est, d'après un raisonnement général déjà fait
Or,' la première intégrale est nulle, puisque la surface Hest une surface minima et que, par suite, son rayon de courbure moyen est constant. La seconde est és^alement nulle, car 3> désigne l'angle de la tangente à la surface 2 avec la tangente à la surface du tube. Comme ces deux surfaces se coupent orthogonalement, cet angle est droit et cotg cp devient nul. Par suite, les aires 2 et S' sont égales.
Montrons maintenant que, si une surface minima AMB \flg. 22) se trouve dans une région où les surfaces minima voisines ne se coupent pas, 1 aire de celte surface est plus
petite que celle de toute autre surface AM'B limitée au même contour que AB.
Pour cela, menons par un élément MN de la surface AB un tube coupant orthogonalement cette surface. Il découpe dans la surface AM'B un élément M'N^ et dans une surface minima A'M'B' voisine de AMB un élément M'N' dont l'aire est égale à celle de MN d'après ce qui précède. Le volume M'N'N, peut être considéré comme un cylindre à bases parallèles dont M'N' est la section droite. Par suite, l'aire deM'N^ est plus grande que celle de M'N' ou de l'élément égal MN. Comme les surfaces minima voisines de AMB ne se coupent pas, par hypothèse, à tous les éléments de AMB correspondent des éléments de AM'B, dont l'aire est plus grande. Par conséquent, l'aire de la surface AMB est plus petite que celle de toute autre surface limitée au même contour.
Nous arrivons donc à cette conclusion qu'une surface à courbure moyenne nulle est une surface d'équilibre stable quand on peut construire des surfaces de courbure moyenne nulle infiniment voisines de cette surface et qui ne la coupent pas.
30. Équilibre instable. — Lorsque, au contraire, les surfaces de courbure moyenne nulle voisines de la surface d'équilibre coupent celle-ci, l'aire n'est pas un minimum et l'équilibre n'est pas stable.
Pour démontrer cette propriété commençons, comme précédemment, par la considération des lignes géodésiques.
Soit AMB [fig. 24) une ligne géodésique coupée en A et B par une autre ligne géodésique AM'B. Ces deux lignes ont des longueurs différentes et la différence de ces longueurs
