L EQUILIBRE INSTABLE

est infiniment petite du troisième ordre, si l'on considère comme infiniment petite du premier ordre la distance do deux points M et M' des deux lignes.

En effet, nous pouvons caractériser une ligne géodésique passant par A en prenant pour paramètre l'angle que fait la ligne avec une droite quelconque menée par A. La longueur de la ligne est alors une certaine fonction du paramètre. En appelant a et

ix -\- cfa. les valeurs du paramètre correspondant aux deux lignes AMB et AM'B, nous avons pour les longueurs respectives de ces lignes

/•(a) et ri^ + dx).

La différence de ces longueurs est donc

/• (a -f c/a) - / (a) = f' (a) dy. + T l» f^ + T (^j ff^ "h ••-

Mais, puisque les courbes considérées sont des lignes géodésiques, on a

f (a) = 0 /■' (a -f dx) = o

et de ces deux égalités on déduit

Par conséquent, la différence de longueur des lignes géodésiques aboutissant en A et en B se réduit à

/•(x + rfa)-/-(a) = rwif^ + '

elle est bien du troisième ordre.

Montrons que, lorsqu'une ligne géodésique AMB [fig. 25) et les courbes géodésiques voisines se coupent, la ligne AMB n'est pas le plus court chemin pour aller de A en B. En effet, si CM'D est une courbe géodésique coupant AMB, les longueurs FiG. 25.

CMD et CM'D ne diffèrent que par une

quantité infiniment petite du troisième ordre. En négligeant cette quantité on a

CMD = CM D et

ACMDB = ACM'DB.

Joignons un point quelconque E du premier chemin à un point quelconque F du second par une ligne géodésique ; sa longueur est plus courte que le chemin ECF et en diffère d'une quantité infiniment petite du second ordre. Par conséquent

ACM'DB > AEFM'DB,

ou, d'après l'égalité précédente,

ACMDB > AEFM'DB,

ce qui démontre la proposition énoncée.

Passons maintenant aux surfaces. On démontrerait par un raisonnement analogue à celui employé pour les lignes géodésiques que, si deux surfaces minima infiniment voisines sont limitées par un même contour, les aires de ces surfaces ne diffèrent que par une quantité infiniment ,'petite du troisième ordre.

Admettons ce résultat et considérons une surface minima

l'équilibre instable 73

s limitée par une courbe L et coupée suivant 1/ par une autre surface minima voisine S' (L' sera un contour fermé intérieur au contour L). D'après ce qui précède, les aires limitées par L' et appartenant l'une à S, l'autre à S', peuvent être considérées comme égales si l'on néglige les infiniment petits du troisième ordre. Par suite, l'aire S de la surface minima S limitée par L est égale à l'aire S" comprise entre L et L', augmentée de l'aire S' limitée par L' et appartenant à S'. Traçons sur la surface S un contour L, intérieur à L, mais extérieur à L', et sur la surface S' un contour L{ intérieur à L'. Par les deux courbes L, et L^' faisons passer une surface minima S, dont je désigne aussi l'aire par S et qui sera annulaire et limitée par les deux contours L, et L,'.

J'appelle alors S, Taire de la portion de S comprise entre L et L^, So l'aire de la portion de S comprise entre L, et f^', S3 l'aire de la portion intérieure à L'.

J'appelle S; l'aire de la portion de S' comprise entre L' et L', et S2 l'aire de la portion de S' intérieure à L,'.|

On aura alors aux infiniment petits près du troisième ordre

D'autre part

Donc

Ainsi S< -j- 83+ S3, c'est-à-dire Taire totale de S, sera plus grande que Taire S, -}- - + ^3, limitée comme elle par le contour L. L'aire de cette surface n'est donc pas minima et l'équilibre n'est pas stable.

Par conséquent, une surface d'équilibre correspondra à un équilibre instable si cette surface niinima peut être coupée par une surface minima voisine.

31. Au caténoïde peut correspondre un équilibre stable ou un équilibre instable. — Cherchons s'il existe une surface minima infiniment voisine du caténoïde et coupant celui-ci ; comme surface minima, nous pouvons prendre un caténoïde ayant même axe, et le problème revient à chercher si une chaînette peut être coupée en deux points par une chaînette infiniment voisine.

Si nous pouvons mener un arc de chaînette A'M'B' infiniment voisin de AMB et ne coupant pas AMB, la révolution de ces deux arcs de chaînette engendrera deux caténoïdes, c'est-à- ^ dire deux surfaces minima infiniment voisines et ne se coupant pas ; l'équilibre sera stable.

Si, d'autre part, nous pouvons mener un arc de chaînette A'M'B' infiniment voisin de AMB et coupant AMB en deux points C et D {/îg. 26 où le lecteur est prié d'ajouter la tangente PD qui a été omise), les deux caténoïdes se couperont suivant deux circonférences qui seront les parallèles de C et de D. L'ensemble des deux parallèles formera un contour fermé L' intérieur au contour L qui limite le caténoïde AMB et qui se compose des parallèles de A et de B. L'équilibre sera instable.

Soit AMB un arc de chaînette. Gomme chaînette infini-.

FiG. 26.