EQUILIBRE STABLE OU EQUILIBRE INSTABLE

ment voisine prenons une chaînette homothétique ayant un point P de l'axe pour pôle et pour rapport d'homothétie 1 — e. Si du point P on peut mener deux' tangentes PC etPD à la chaînette AMB, ces droites seront également tangentes à la chaînette homothétique A'M'B', et ces courbes, qui sont infiniment voisines, se couperont aux point de contact C et 1). Inversement, si les deux chaînettes se coupent, le point de rencontre sera très voisin des deux points de contact d'une tangente PC commune aux deux courbes. La stabilité de l'équilibre d'un caténoïde dépend donc de la possibilité de trouver sur l'axe un point d'où l'on puisse ou d'où l'on ne puisse pas mener deux tangentes à la chaînette génératrice.

S'il existe un point P d'où l'on puisse mener deux tangentes à l'arc AMB, l'équilibre sera instable; s'il existe un point P d'où l'on ne puisse mener aucune tangente à l'arc AMB, cet arc ne rencontrera pas ses homothétiques par rapport au point P, et l'équilibre sera stable.

FiG. 27.

Fio. 28.

Les deux cas peuvent se présenter. Si les tangentes aux extrémités A et B de la chaînette se coupent en un point C {fig. 27) situé entre l'axe et la chaînette, il ne sera pas possible de mener de tangente à la courbe d'un point pris entre

P et Q. Par conséquent, il existera des chaînettes infiniment voisines ne coupant pas AMB, et l'équilibre sera stable.

Mais, si les tangentes en A et B se coupent au-delà de l'axe (/?^. 28), par tous les points de l'axe compris entre P et Q il sera possible de mener deux tangentes à AMB, et l'équilibre sera instable.

Le passage de l'état d'équilibre stable à l'état d'équilibre instable a lieu quand les tangentes aux extrémités de la chaînette se coupent sur l'axe.

M. Schwarz, en opérant avec un liquide glycérique, a pu vérifier expérimentalement ces conclusions. Quand l'équilibre cesse d'être stable, le caténoïde correspondant disparaît, et le liquide forme deux lames planes circulaires passant par les contours de deux circonférences rigides.

32. Les surfaces de Riemann. — Dans un Mémoire important, le géomètre Riemann a déterminé les surfaces minima passant par un contour donné. La plus grande partie de son mémoire est consacrée au cas où la surface est limitée par un polygone gauche dont tous les côtés sont reclilignes. Dans ses Leçons sur la théorie fjénérale des surfaces, M. Darboux expose la méthode de Riemann et les résultats qu'il a obtenus dans le cas que nous venons d'indiquer (').

Mais il est un cas étudié par Riemann et que M. Darboux ne fait que signaler (^). C'est celui où le contour est formé de deux cercles dont les plans sont parallèles et non perpendiculaires à la droite qui joint leurs centres. Les consé-

(•) Livre III, chapitre x : le Problème de Plateau, (2) Note (le la page 426.