POTENTIEL D UN VOLÎME DE REVOLUTION
de V, nous pouvons donc écrire pour l'expression de ce potentiel
Il est évident que ces fonctions ne sont pas identiques à celles qui entrent dans l'expression (2). Si nous comparons l'expression précédente de V avec la valeur V = A du potentiel pour un point intérieur à distance finie de la surface, nous voyons que 6^ (s) doit tendre vers A et 6, (e) vers zéro quand e devient fini.
Cette dernière propriété de la fonction ô^ (e) permet de rem-
placer - par le facteur ^i qui en diffère peu quand s est petit.
On retombe donc sur l'expression du potentiel obtenue pour un point extérieur, mais 0 et ô^ ne désignent pas les mêmes fonctions dans les deux cas.
En résumé :
1° Si le point est extérieur et à une distance finie,
V = o 2° Si le point esta une distance très petite de la surface,
V=e(s)-ie^(s),
les fonctions 0 et 0, n'étant pas les mêmes quand le point est intérieur et quand il est extérieur;
3° Si le point est intérieur et à une distance finie,
5. Potentiel d'un volume de révolution. — Montrons d'abord que le potentiel en un point P, situé sur l'axe à une
10 THEORIE DE LAPLAGE
distance très petite de la surface limitant le volume, augmente ou diminue en même temps que le rayon de courbure du sommet voisin.
Soit ABC {fig. 2) la section méridienne du volume considéré. Déformons cette courbe de manière à ce que le rayon de courbure en A augmente, et soit ADBE la nouvelle forme.
Fig. 2.
Le potentiel du volume engendré par la surface ADBE est égal au potentiel du volume engendré par ABC augmenté de celui du volume engendré par ABD et diminué de celui du volume engendré par BCE. Le point P étant supposé à une très petite distance de A, il est à une distance finie des molécules de ce dernier volume et, par suite, le potentiel correspondant est négligeable. Le potentiel du volume engendré par BDA est positif, si toutefois on suppose que la force entre deux molécules est attractive ; par conséquent le volume engendré par la surface ADBE donne en P un potentiel plus grand que le volume primitif.
Cela posé, traçons deux sphères tangentes en A au volume considéré et dont les rayons sont R' et R". Soient V et V les potentiels de ces sphères au point P, V celui du volume considéré au même point qui peut être à l'intérieur ou à l'extérieur de ce volume. Si le rayon de courbure en A de la surface engendrée par ABC est compris entre R' et R", on a,
POTENTIEL d'un VOLUME DE REVOLUTION 1 I
d'après ce qui précède
ou
En faisant tendre R' et R" vers le rayon de courbure R, un aura à la limite
V = ô(s)-io, (e); (3)
Le potentiel ne dépend donc que de la distance du point à la surface du volume considéré et du rayon de courbure au sommet.
Nous avons admis que les forces s'exerçant entre deux molécules sont toujours attractives. A la vérité, cette restriction ne s'impose pas, et l'on arrive à la même expression du potentiel en supposant que ces forces peuvent être attractives ou répulsives suivant les cas. En effet, si la force est répulsive, <pdoit être changé de signe ; par suite, l'expression la plus générale de cp est
(p, (r) et 0)2 [>'} étant deux fonctions toujours positives. Le potentiel en un point est alors
V =///ï "•' "' =fff^< "■' "' -fff^' '■' '''•
Mais les raisonnements qui précèdent sont encore applicables aux intégrales du dernier membre, puisque cp^ et o-j sont toujours positifs. Donc, chacune d'elles peut se mettre
12 THÉORIE DE LAPLAGE
SOUS la forme 6 (e) — — 6, (e). Il en sera encore de même de
leur différence, c'est-à-dire de V.
Prenons un fuseau limité par deux plans passant par l'axe du volume de révolution et faisant entre eux un certain angle. Un autre fuseau de même angle aura le même potentiel en P, car, en faisant tourner ce dernier fuseau d'un angle convenable, on peut le faire coïncider avec le premier. Il résulte de là que le potentiel d'un fuseau est proportionnel à l'angle dièdre formé par les plans qui le limitent. Par conséquent, le potentiel d'un fuseau d'angle a a pour expression
6. Potentiel d'un volume quelconque. — Cherchons le potentiel d'un volume limité par une surface quelconque S en un point P, intérieur ou extérieur, mais très voisin de cette surface.
Prenons pour axe des z la normale à la surface passant parP; pour axe des a;et ?/, les axes de l'indicatrice du pied A de la normale. L'équation de la surface par rapport à ce système d'axes est
et le rayon de coui'bure en A, de l'intersection par un plan normal II faisant un angle <p avec l'axe des a?, est donné par la relation
— = 2 (a cos^cp -j- ^ sin-(p).
Considérons le fuseau F d'angle cZcp limité par le plan II et
