LES SURFACES DE RIEMANN

qui exprime que les deux points M et M' sont sur la surface F = o.

Pour que ces équations puissent être satisfaites pour des valeurs de dx, ch/, dz, du différentes de zéro, il faut que leur déterminant soil nul, c'est-à-dire que l'on ait

Yx

Cette équation du second degré en - détermine les rayons de courbure en M. Pour que la surface soit minima il faut que la somme des racines de cette équation soit nulle, ce qui donne la condition

Ya Y. Y X Y o

Dans le cas qui nous occupe, nous avons par suite de la forme de l'équation de la surface

X = 2a'Cy+a)-f [i', Y = 2 (.y + ^), Z = 2^, X, = 2a" (3/ -f a) 4- 2a'2 -f S", X, = 2a' X, == o , Yx = 2a', Y, =2, Y, = o, Z, = 0, Ly = o, Z, = 2.

Si nous tenons compte de ces relations l'équation précédente se réduit à

2XYXy— X^Yj, — Y^X^-Z^X^ — X2Z,-Z2Yy-Y2Z,= o,

OU

4X (a'Y - X) - ;Ya + Z2] (X, + 2) = o, ou encore à

X est du premier degré en y ; le coefficient a'Y — X ne contient pas cette variable ; par suite, le premier terme de cette équation est du premier degré en y. X^ + ^ est du premier degré en y ; le coefficient (y + a)^ + ^^ est du degré zéro, car, d'après Téquation de la surface F = o, ce coefficient est égala — p. Par conséquent, l'équation précédente est de la forme

At/ 4- B = o

A et B étant des fonctions de x seulement.

Pour qu'elle soit satisfaite, quelque soit le point considéré, il faut que l'on ait séparément

équations différentielles qui permettent de trouver a et p. Il existe donc bien une surface minima passant par les

deux cercles, et, d'après son équation, toute section par un

plan parallèle à ceux de ces cercles est une circonférence ;

c'est là une conséquence facilement accessible à l'expérience. Riemann a fait le calcul des fonctions a et P; il exige

l'emploi des intégrales elliptiques.

33. REMAnQUEs. — Pour démontrer que la surface libre d'une lame mince en équilibre est une surface à courbure moyenne nulle, nous avons exprimé que, d'après la théorie