REMARQUES

de Gauss,

doit êlre maximum. Xous aurions pu trouver toul aussi simplement cette condition d'équilibre en partant de l'équation de la surface libre obtenue par Laplace.

gz

Ro

:^ const.

Considérons, en effet, deux points M et M, ,Jig. 29, ayant le même z des deux faces d'une lame mince. D'après l'équation précédente — -f — doit avoir la même valeur en ces points.

Mais, d'autre part, M et M, étant très voisins, puiscjne la lame est mince, les rayons de courbures principaux en ces points doivent avoir sensiblement la même valeur absolue. Comme ils sont de signes différents, puisque l'un des points est sur la face concave, l'autre sur la face convexe, il en résulte }iJ que, quand on passe de M en M, , la somme des inverses des rayons de courbure doit changer de signe, sans que sa valeur absolue varie sen- Fu.. 29. siblement.

Cette conclusion n'est compatible avec celle qui précède que si la somme des inverses des rayons de courbure est nulle ou très petite.

Examinons cette analyse de plus prés. Nous avons du côté convexe

C étant une constante, et du côté concave

Si nous comparons les valeurs des diverses quantités aux points M et M,, nous voyons que z = z\ Rj = — R,, R^ = — R3, et de plus que C = C, puisque la pression doit être la même des deux côtés, de sorte que l'équation (2) devient

(3) ^-+Hïï; + 5;) = '^-

En retranchant (1) de (3) il reste

w ''(ïï; + ïï;) = -

C'est la condition à laquelle nous sommes arrivés précé demment; mais elle n'est qu'une combinaison de (1) et de (3). Si nous voulions satisfaire à la fois à (1) et à (3), cela serait, en général, impossible ; on pourrait y arriver approximativement si 6, était très grand, parce que les termes gz et C deviendraient négligeables. Ceci nous montrerait qu'une forte tension superficielle est une bonne condition pour la conservation des lames minces.

34. Mais ce n'est pas là la véritable explication. Supposons, par exemple, un cadre plan et vertical; la forme d'équilibre d'une lame mince sera limitée par deux plans verticaux et parallèles. Si on imprime à la lame un déplacement très petit de telle façon que les deux surfaces limites restent deux surfaces parallèles, le travail de la pesanteur sera négligeable ainsi que celui des forces capillaires; c'est