FI ■^" FG

puisque FG est infini, la parabole pouvant être conservée comme une ellipse, dont l'un des foyers est rejeté à l'infini. La surface de révolution engendrée par la trajectoire est donc dans ce cas une surface à courbure moyenne nulle.

ONDULOIDE Nous la connaissons déjà ; c'est le caténoïde.

38. Onduloïde. — Plateau a donné le nom d'onduloïde à la surface de révolution engendrée par la rotation de la trajectoire d'un foyer d'une ellipse.

Pour trouver sa forme, supposons l'ellipse génératrice d'abord tangente à la droite de roulement à l'extrémité A {fig. 33) de son grand axe. Il est évident que, quel que soit le

FiG. 33.

sens dans lequel on fasse tourner cetteellipse, la courbe décrite par F a des ordonnées égales pour des abscisses égales. La courbe est donc symétrique par rapport à AB ; nous ne considérerons que la portion située à droite de cet axe.

Si nous menions une tangente à l'ellipse et que nous faisions mouvoir son point de contact de A en B la distance du foyer F à cette tangente irait toujours en croissant. Par conséquent, quand la conique roule sur XY, les ordonnées de la trajectoire de F vont constamment en croissant jusqu'à ce que l'extrémité B du grand axe vienne en contact en B' avec la droite de roulement.

Les abscisses vont également en augmentant, car elles ne peuvent cesser de croître que si la tangente à la courbe

décrite par F devient perpendiculaire à xy et, par suite, la normale parallèle à cette droite. Or, dans ce cas, le centre instantané de rotation se trouverait rejeté à l'infini, ce qui n'a pas lieu. La trajectoire du point F est donc une courbe de la forme FMF'.

Si l'on continue à faire rouler l'ellipse, la courbe décrite par son foyer est évidemment symétrique par rapport à A'B' de la portion déjà décrite. Il suffit donc de connaître la forme de la courbe FF' comprise entre les axes de symétrie AB et A'B' pour pouvoir tracer tout entière la méridienne d'une onduloïde.

Dans le cas particulier où l'ellipse devient une circonférence, les deux foyers de l'ellipse se confondent avec le centre de la circonférence. Dans le roulement de cette courbe sur xy^ son centre décrit une droite parallèle à xy. L'onduloïde se réduit donc, dans ce cas, à un cylindre de révolution autour de xy.

Si l'ellipse s'aplatit indéfiniment les foyers se rapprochent de plus en plus des sommets, et la méridienne de l'onduloïde a des points très rapprochés de l'axe de rotation. A la limite l'ellipse se réduit à une droite ayant pour foyers ses deux extrémités, et la trajectoire d'un des foyers est formée d'une série de demi-circonférences ayant leurs centres sur la droite xy. Par conséquent, l'onduloïde se réduit alors à une série de sphères tangentes entre elles.

39. Nodoïde. — C'est le nom donné par Plateau à la surface ayant pour méridienne la trajectoire du foyer d'une hyperbole.

Considérons l'hyperbole dans la position pour laquelle

NODOIDE

c'est son sommet A {fig. 34] qui est en contact avec la droite xy. L'axe AB de la conique dans cette position est un axe de symétrique de la trajectoire du foyer F.

Faisons rouler l'hyperbole jusqu'à ce que l'asymptote CD se confonde avec la droite xy ; l'ordonnée de la trajectoire do F ira toujours en croissant, car la distance du foyer d'une hyperbole à une tangente dont le point de contact se déplace de A en C va toujours en augmentant.

Fk;. 34.

Quand l'asymptote CD coïncide avec xy^ nous devons faire rouler l'autre branche de l'hyperbole, le point de contact se déplaçant d'abord sur la branche DB, La distance du foyer F à la tangente à cette branche allant constamment en crois-

sant lorsque le point de contact de cette tangente se déplace de D en B, il en sera de même de l'ordonnée de la trajectoire de F pendant le roulement.

Par conséquent, l'ordonnée croît d'une manière continue depuis F jusqu'au point F' correspondant à la position de l'hyperbole pour laquelle le contact avec xy se fait en B', second sommet de la conique.

Fio. 3o.

Mais, pendant le mouvement, l'abscisse commence par décroître. Quand l'asymptote CD se confond avec xy le centre instantané de rotation se trouve rejeté à l'infini ; par suite, la normale à la trajectoire de F est à ce moment parallèle à xy, et la tangente est perpendiculaire à cette ligne. L'abscisse cesse donc de décroître, et elle va en croissant jusqu'en F'. On a, par conséquent, entre F et F' une courbe ayant la forme indiquée FMF'.

La droite A'B' étant évidemment un axe de symétrie comme AB, la méridienne de la nodoïde doit avoir la forme qu'indique la figure 35.

40. Réalisation expérimentale de ces surfaces. — Plateau est parvenu à réaliser expérimentalement ces diverses surfaces, comme nous l'avons dit.

Quand on emploie comme supports rigides deux disques

plans on peut arriver, en ajoutant ou retirant de l'huile avec une pipette, à obtenir un cylindre de révolution dont les génératrices s'appuient sur les bords des disques.

En rapprochant peu à peu ces disques on obtient une portion convexe d'onduloïde, puis une portion de sphère, puis, enfin, une portion convexe de nodoïde.

Au contraire, en écartant les deux disques, on voit se former une portion concave d'onduloïde qui s'amincit de plus en plus par le milieu et se sépare enfin en deux. La rupture doit correspondre au moment où, l'ellipse étant infiniment aplatie, l'onduloïde donnerait naissance à deux sphères, s'il n'y avait pas de supports solides.

Si l'on emploie comme supports rigides deux anneaux de même diamètre, on voit les mêmes surfaces se reproduire de la même manière entre les anneaux. Mais, en même temps, les surfaces qui limitent la masse d'huile au-delà des anneaux se déforment et, conformément à la théorie, la courbure moyenne de ces surfaces est égale à celle de la surface comprise entre les anneaux.

Ainsi, quand cette dernière est un cylindre de révolution, les deux autres sont des calottes sphériques dont le rayon est égal au double de celui des anneaux. Or, pour le cylindre de révolution l'un des rayons de courbure est infini, l'autre est égal au rayon commun R des anneaux ; sa courbure

moyenne est donc ^- Celle d'une calotte sphérique est ^

-|- ^ ou 5' c'est-à-dire égale à la précédente"

41. Sur la stabilité de l'équilibre du cylindre de révolution. — Par l'étude expérimentale Plateau a reconnu

que le cylindre de révolution est une surface d'équilibre stable, quand la hauteur du cylindre est plus petite que la circonférence de base, tandis qu'il y a équilibre instable dans le cas contraire.

Pour chercher théoriquement les conditions de stabilité du cylindre de révolution, il faut comparer cette surface aux surfaces d'équilibre très voisines et voir dans quels cas la surface du cylindre est un minimum relatif.

Plateau a appliqué cette méthode; mais, au lieu de comparer la surface du cylindre à la surface de l'onduloïde, qui est la surface d'équilibre résultant d'une petite déformation du cylindre, il l'a comparée à la surface de révolution engendrée par la rotation d'une sinusoïde.

Le procédé n'est pas tout à fait correct. Cependant, comme la méridienne d'une onduloïde diffère peu d'une sinusoïde et que ce procédé conduit à la conclusion trouvée par l'expérience, nous allons l'exposer.

Prenons des axes de coordonnées rectangulaires, l'axe des X étant la droite qui joint les centres des deux disques ou anneaux, c'est-à-dire l'axe de révolution des surfaces d'équilibre.

Les équations des plans de base du cylindre sont