oCq f ^A/ — oc j
et l'une des génératrices de ce cylindre situées dans le plan des ocy a pour équation
a étant le rayon des disques ou des anneaux.
Nous pouvons prendre, pour équation de la sinusoïde
engendrant la sui-facr à laquelle nous devuns comparer le
cylindre,
y ^= a — \J- -\- ^ sin x. (1)
En effet, nous exprimerons que cette sinusoïde sappuie sur les bords des disques ou des anneaux en écrivant
jj. = p sina^p, y. = [i s'\nx^.
Pour que ces deux é<juations soient satisfaites, il suffit que x^ — x^ soit égal à un multiple entier de 2^. Or, si nous " posons
cela revient à prendre une unité de longueur telle que la hauteur du cylindre soit représentée par Stt ; ce qui est toujours possible.
[ji et p étant liés par une des égalités précédentes, il suffit, pour achever de déterminer l'équation de la sinusoïde, de trouver une nouvelle relation entre [j., ji et a. Pour cela, exprimons que la masse d'huile reste la même, c'est-à-dire que le volume engendré par la rotation de la sinusoïde est égal au volume du cylindre.
Le volume engendré par la sinusoïde est
f-A/-dx=^ f{à-—^aix-\~iJ.-)dx-\-2^f{a—u:jiismx-lr7: fp'^sin^x,
OU, puisque la seconde intégrale du second membre est nulle,
Le volume du cylindre étant
CAPILI.ARITK.
il faut donc que l'on ait
Or, [x et p sont des quantités infiniment petites, puisque la sinusoïde doit très peu différer d'une droite. Par conséquent, la condition précédente sera satisfaite si
4fl[. = f, (2)
car alors [/. est un infiniment petit du second ordre, p étant du premier ordre, et le terme 2[J!.^ est négligeable.
Comparons maintenant la surface engendrée par la sinusoïde avec la surface latérale du cylindre.
Un élément ds de la sinusoïde peut s'écrire
ds = \Jdx^ -{- dy"^ = dx sji -\- y\ :=^ dx sjï -\- p^ cos^ x. En tournant, cet élément engendrera une surface
t-Kyds = 27c{a — y. -f psina;) y/l + P^ cos^ico^o;
et la surface engendrée par la sinusoïde sera l'intégrale de cette expression prise entre x^^ q.\.x^ . Mais, p^ étant du second ordre, nous pouvons écrire
V/I + P^cos^o; = 1 -f- âi£^, et
af
{a — [J>. + P smx)\Ji-\-^'^ cos^o; =a — [J<--[-p siui»-] — ^cos^a;,
en négligeant les quantités infiniment petites d'ordre supé-
rieur au second. Par suite, la surface cherchée est
27t f{a — iL)dx-{- 271 Ai' sina; t/o? -f 2:: / -|- cos^ x dx
OU
La surface du cylindre étant
27rrt + 2^,
elle sera plus petite ou plus grande que celle qui est engendrée par la sinusoïde , suivant que
sera plus négatif ou positif. Si l'on tient compte de l'égalité (2), cette condition revient à
— &2 |. a^i-i ^ o, ou
27ra— 271^0.
11 y aura donc équilibre stable si 2:1 a < 2::, et équilibre instable dans le cas contraire. Puisque 2:1 a est la circonférence de base du cylindre, et 2t: sa hauteur, à cause de l'unité de longueur adoptée, on arrive bien à la conclusion déduite de l'expérience.
Cela suffît pour établir que l'équilibre est instable lorsque la hauteur est plus grande que la circonférence de base, mais non pour démontrer la réciproque, puisqu'on n'a com-
paré le cylindre qu'à une des surfaces infiniment voisines possibles.
43. Dans sa Théorie de la capillarité^ M. Mathieu a repris l'analyse de Plateau. En comparant (') la surface d'un cylindre dont la hauteur est moindre que la circonférence de ses bases à la surface infiniment voisine eng-endrée par une sinusoïde dont le pas est égal à la circonférence des bases, il trouve que la surface du cylindre est alors moindre que l'autre surface, résultat conforme à celui de Plateau.
Mais, en comparant la surface du cylindre à celle qui est engendrée par une autre sinusoïde différant toujours infiniment peu d'une droite, il trouve que la seconde peut être plus petite que la première pour des valeurs de la hauteur notablement inférieures à la longueur de la circonférence des bases.
La surface du cylindre n'est donc pas une surface d'aire minimum relatif, c'est-à-dire par rapport à toute espèce de petite déformation, et l'instabilité de ce cylindre doit commencer pour des valeurs de la hauteur bien plus petites que celle trouvée par Plateau.
Mais, puisque c'est l'expérience qui a d'abord fourni à Plateau le résultat qu'il a ensuite essayé de retrouver par la théorie, comment expliquer le désaccord de ce résultat avec celui du calcul de M. Mathieu? C'est ce que celui-ci tente de faire de la façon suivante :
« Les déplacements très petits que Ton communique ordinairement à la colonne liquide, par exemple en donnant un mouvement vibratoire au vase, ne sont pas absolument quel-
(') Voir p. 73 et suiv. de l'ouvrage cité.
DtPARTMENT OF MATHEMATiC?
