UNIVERSITY OF TORONTO

conques. On conçoit donc que, en se déformant, la colonne liquide ait une tendance à passer par des figures d'équilibre. C'est, en effet, ce qui a été reconnu par Plateau. Alors le méridien de la surface devient une sinusoïde dont le pas est égal à 27r«, et la surface de forme est plus grande que celle du cylindre, si la hauteur de la figure est inférieure à Sita. »

Cette explication est évidemment insuffisante. La véritable cause du désaccord entre les résultats de Plateau et ceux de M. Mathieu est que celui-ci suppose que le rayon de la circonférence d'intersection de la surface de révolution et d'un des plateaux peut subir une variation infiniment petite, tandis que le premier suppose ce rayon constant. Cette cause n'a pas complètement échappé à M. Mathieu, car il fait remarquer « que le liquide peut être un peu maintenu par les disques, par suite de l'adhérence et du frottement », mais il ne la considère que comme secondaire.

La solution du débat revient donc à savoir si les circonférences des bases varient ou ne varient pas dans une déformation.

Dans les expériences faites avec des anneaux en fil de fer fin, la réponse est immédiate. La surface de révolution devant passer | par ces anneaux, les rayons des circonférences de bases conservent la même valeur : le rayon commun y^^ 3g

des anneaux.

Dans le cas où les plateaux sont employés, la constance du rayon n'est pas aussi évidente, car, si le cylindre coupait les plateaux en des points tels que A et B {/îç. 36), situés à une certaine distance des bords, les circonférences

de bases pourraient varier dans une petite déformation; mais, si nous remarquons que le long de la courbe d'intersection l'angle de raccordement de la surface liquide et de la surface du plateau doit avoir une valeur constante, en général différente d'un droit, nous en déduisons que le raccordement ne peut se faire que suivant le bord du disque où, l'arête étant toujours plus ou moins émoussée, l'angle de raccordement peut prendre la valeur qui lui convient. Dans ces conditions, le rayon des circonférences des bases conserve encore une valeur constante.

43. Dans cette hypothèse, nous allons démontrer, en toute rigueur, que la surface du cylindre de révolution est un minimum relatif dans les conditions indiquées par Plateau.

Montrons d'abord qu'il suffît de comparer ce cylindre à une surface de révolution de même axe.

Soit S un solide quelconque ayant même volume que le cylindre et une surface plus petite. Je dis qu'il existe un solide de révolution S' de même volume et de surface plu& petite que le solide S.

Coupons S par une série de plans parallèles aux bases. Si Q est la surface d'une de ces sections, Q dx sera le volume compris entre deux sections infiniment voisines. Nous pouvons imaginer un solide de révolution S' dont les sections circulaires aient une surface égale aux sections correspondantes de S. Le volume limité par deux sections infiniment voisines de S' est alors Q dx, c'est-à-dire que les volumes élémentaires des solides S et S' sont égaux deux à deux. Par conséquent, S et S' ont le même volume.

Considérons les surfaces. Soient C et C [fig. 37) les sections de S par deux plans parallèles distants de dx. Projetons la courbe C sur le plan de C, nous obtenons une courbe C", et l'aire annulaire comprise entre C et G" est égale à tfQ. En deux points voisins A et B de la courbe C

menons des plans normaux à cette courbe. Ils coupent C en A' et B', C" en A" etB", et nous pouvons considérer le solide AA'A"BB B" comme un prisme triangulaire droit.

En appelant ds l'élément AB de la courbe C, les surfaces des faces de ce prisme sont

rf(o = ds AA' rfto, = dis AA" c?co2 -= ds A"A'

(pour AA'BB') (pour AA"BB'') (pour A'A"B'B")

et, puisque le triangle AA'A", rectangle en \'\ donne

on a