AA

Mais dm est un élément de la surface du solide S; par suite, la surface de ce solide est

Trfo) =f\/doy^ + rft,

Or, on a

car, si nous regardons pour un instant ffco, et do)^ comme les variations des coordonnées d'un point d'une courbe plane, le premier membre de l'inégalité représente la longueur d'un arc fini de cette courbe, tandis que le second est la racine carrée de la somme du carré de la différence des ordonnées et du carré de la différence des abscisses des points extrêmes de la courbe, c'est-à-dire la longueur de la droite joignant ces points. La ligne droite étant la plus courte distance de deux points, l'inégalité est bien exacte. On a donc

fd.>^i^fd.,y+{jd.

Il y a exception si le solide est de révolution ; dans ce cas, en effet, les aires élémentaires t/to, dM^, dia.^ sont dans un rapport constant ; il en résulte que l'inégalité doit être remplacée par une égalité et que :

fdo^ = y/(yo?co^y + (Jc/o.,

Mais / d(3i^ est l'aire comprise entre les courbes C et C",

c'est-à-dire <iQ.

D'autre part, puisque AA" est la distance de deux sections parallèles aux bases et infiniment voisines, on a

d{a^ = ds A A" =: ds dx^

et

I dM^ = s dx,

s étant la longueur de la courbe C. Donc la surface S de la portion du solide incomprise entre nos deux plans infiniment voisins parallèles au plan des yz sera

S =zfdio > v'.v^ dx^ 4- d(V.

Si la courbe C était un cercle de surface Q, son périmètre

s serait égal à s/ÂîîQ. Le cercle étant de toutes les figures de même surface celle qui a le plus petit périmètre, on doit avoir pour la section solide 2 qui n'est pas de révolution

et par conséquent

Pour le solide de révolution S' les inégalités précédentes devront être remplacées par des égalités et nous aurons

et par conséquent

S' = v^iuQ dar- + rfQ2.

La surface du solide de révolution S' est donc plus petite que celle du solide i:. Par suite, si nous parvenons àdémontrer que la surface du cylindre droit est plus petite que celle du solide de révolution de même volume et de mêmes bases, nous aurons par cela même démontré qu'elle est aussi plus

petite que celle d'un solide quelconque de même volume et de même base, et la surface du cylindre sera bien un minimum relatif. Pour arrivera ce but démontrons deux lemmes.

44. Lemme I. — Si deux arcs de méridiens d'onduloïdes de même axe infiniment voisins AMB, AM'B' [fig. 38), ayant une extrémité A commune et leurs extrémités B et B" sur

Fig. 38.

une normale BB' à AM'B', se coupent en un point C tel que les volumes engendrés par AMCM'A et CB'B soient égaux, les surfaces engendrées par la rotation de ces arcs sont égales.

Soit S la surface engendrée par AMB, S -(- 5S la surface engendrée par AM'B' ; soit V le volume engendré par A^AMBB,, et V +SV le volume engendré par A^AM'CB'BB^.

Par hypothèse ces deux volumes sont équivalents et 8V est nul; je me propose de démontrer que oS est nul.

Soit, en effet, rfd un élément de la surface AMB ; menons une normale à cet élément et prolongeons-la jusqu'à sa rencontre avec la surface AM'B' ; soit X la longueur de cette normale.

Soit c?S un élément de la circonférence engendrée par le

point B, et soitcp l'angle de raccordement, c'est-à-dire l'angle que fait la surface AMB avec BB'.

Une formule que nous avons appliquée bien des fois nous donne

Comme par hypothèse l'angle cp est égal à x» la seconde intégrale est nulle ; mais la courbure moyenne de l'onduloïde

étant constante, je puis faire sortir jz — h r" ^^^ signe / et la

première intégrale se réduit à

On a donc

Les deux surfaces AMB, A'M'B' sont donc égales en négligeant les infiniment petits du second ordre.