Lemme II. — Si AMC {/ig. 39) est un arc du méridien

FiG. 39.

d'un solide de révolution résultant de la déformation d'un cylindre de révolution dont la hauteur est plus petite que la

circonférence des bases, il existe un arc d'onduloïde APC, terminé aux mêmes extrémités, engendrant un volume égal à celui du solide engendré par AMC et il n'y en a qu'un.

Il est clair qu'on peut toujours trouver au moins un onduloïde de volume donné, admettant comme bases deux cercles donnés.

En effet, on peut considérer une goutte d'huile dont le volume soit le volume donné et qui s'appuie sur deux disques solides ayant la forme des deux cercles donnés. Cette goutte aura au moins une position d'équilibre. Ou, en d'autres termes, si on considère plusieurs solides de révolution ayant même volume et mêmes bases, la surface latérale de ces solides ne pourra décroître au-delà de toute limite; il y aura donc un de ces solides pour lequel cette surfpce sera plus petite que pour tous les autres et qui devra être un onduioïde.

Tout cela est presque évident. Mais ce que je me propose de démontrer c'est que, si les deux bases (qui sont les cercles de rayons AA^ et CC^) ont des rayons très peu différents, parmi les onduloïdes satisfaisant à la question, il y en aura en général un et un seul qui différera très peu d'un cylindre.

Soit

l'équation de la courbe AMC. Si a;,, et x^ sont les abscisses des points A et C, on a, en appelant a le rayon AA,,

où e doit être très petit, parce que A'MCB est le méridien du solide obtenu par une déformation infiniment petite du

cylindre. Le volume engendré par le trapèze A,AMCC, est donné par l'intégrale

■K \ f'^ [x] dx.

J xo

Et, comme/" ix) diffère très peu de a, cette intégrale est égale à

TT [«2 (a'2 — x^ + e'],

e' étant une quantité très petite.

Considérons les onduloïdes d'axe Ox. Leurs méridiens dépendent des dimensions de l'ellipse génératrice, ainsi que delà position du point de la droite qui se trouve en contact avec un point déterminé de la conique, un sommet, par exemple, pendant le roulement de cette conique. Or, l'ellipse est déterminée par la connaissance de ces deux axes , et la position du point de contact d'un de ses sommets avec la droite 0^7 par l'abscisse de ce point. L'équation des méridiens des onduloïdes d'axe Ox contient donc trois paramètres arbitraires. En exprimant que ces méridiens passent par le point A on peut éliminer un de ces paramètres et l'équation générale des méridiens d'onduloïdes d'axe Qx et passant

par A est

avec la condition

a = cp(a7o. ^M fi)-

Supposons les paramètres choisis de telle sorte que l'onduloïde se réduise au cylindre pour x = ^ -- o. Pour ces valeurs des paramètres on a

a = cp(a;a, o, o).

L'arc APC du méridien d'un onduloïde diffère peu de l'arc AMC et, comme celui-ci diffère peu de la droite AB, l'arc APC diffère peu de cette droite. Par suite, les valeurs des paramètres correspondant à cet arc sont excessivement petites, et l'on peut écrire pour cet arc

<{) (J72, a, p) == cp (^2> 0, o) + a ^ -f P ^

Pour exprimer que l'arc d'onduloïde passe par l'extrémité C de l'arc AMC, il nous suffit d'écrire

ce qui nous donne la condition

Posons

7t / cp'2(a;, a, fi) dx = 7r'|/(a, p).

Puisque pour x = p = o l'arc d'onduloïde se réduit à la droite AB, l'intégrale précédente, qui représente le volume de l'onduloïde devient alors

et nous pouvons écrire, a et [5 étant très petits pour l'arc APC, ,r^(a, p) = u[a^(a;2 " ^o) + «^ |[ -f" fi 'J^ ] Comme nous voulons que ce volume soit égal à celui du

ÉQUILIBRli DU CYLINDRE DE REVOLUTION 111

solide engendré par l'arc AMC, nous devons avoir

Il est toujours possible de satisfaire aux conditions (1) et (2) par des valeurs déterminées de a et de p, si le déterminant

ri^d±dj^d^ ,

dx d^ dx rfp ^ '

est différent de zéro, et il est alors démontré qu'il existe bien un arc d'onduloïde satisfaisant aux conditions de l'énoncé. Voyons la signification de cette condition.

Si le déterminant précédent était nul on pourrait satisfaire aux équations

par des valeurs de a et de p différentes de zéro, ce qui revient à dire qu'il y aurait un arc d'onduloïde ayant ses extrémités sur la droite AB et engendrant un volume égal à celui du cylindre engendré par le segment de droite, compris entre les extrémités de l'arc d'onduloïde.

Or il est impossible qu'il en soit ainsi pour une longueur de ce segment moindre que AB, si cette longueur est ellemême plus petite que Sra, comme le suppose l'énoncé.

Nous avons vu, en effet, que le méridien d'onduloïde est la trajectoire du foyer d'une ellipse roulant sur une droite.

Quand l'ellipse se réduit à un cercle de rayon a, l'ondu-

H2 LES expériengb:s de plateau

loïde se réduil à un cylindre de rayon a, ayant pour méridien une droite AB.

Considérons les intersections de cette droite AB avec un méridien d'onduloïde très peu différent, c'est-à-dire engendré par une ellipse peu différente d'un cercle de rayon a.

Une droite telle que AB parallèle à la droite sur laquelle roule l'ellipse génératrice d'un méridien d'onduloïde coupe ce méridien en une série de points D, E, F [fig. 40).

FiG. 40.

L'extrémité C de l'arc d'onduloïde APC considéré ne peut se confondre avec le point d'intersection D, car il est évident que le volume de l'onduloïde limité par des plans perpendiculaires à Or et passant par A et D est plus grand que le volume du cylindre engendré par le rectangle A,A[)P^. Par suite, le point C doit être l'un des points d'intersection suivants, E, F,... Or les points A et E du méridien de l'onduloïde correspondent à des positions de l'ellipse telles que dans ces deux positions c'est le même point de l'ellipse qui est en contact avec Ox ; par conséquent, la différence des abscisses de ces points est égale à la longueur de l'ellipse. Mais cette longueur diffère peu de ^ita^ car, pour obtenir la droite AB elle-même, l'ellipse doit se réduire à un cercle de rayon a, et par hypothèse l'onduloïde ADEF diffère peu de la droite.

Il résulte donc de là qu'il n'est possible d'avoir un ondu-

loïile limité par des cercles égaux et ayant même volume que le cylindre de mêmes bases que si la hauteur de l'ouduloïde est au moins égale à la circonférence de ces bases. Le déterminant ne peut donc s'annuler que si cette hauteur n'est pas plus petite que cette circonférence. Je pourrais même ajouter, si elle est un multiple de cette circonférence.)

Or, dans l'énoncé du lemme j'ai supposé que la distance des deux plans AA,, BB,, et a fortiori celle des deux plans AA,, (]C, était plus petite que cette circonférence.

Notre déterminant ne peut donc s'annuler, et le lemme est démontré.

Voici l'usage que nous en ferons.

46. Considérons le solide AMCBB^A^ {/ïg. 39) et un plan mobile CC^ parallèle aux deux bases; construisons ensuite l'onduloïde APC défini plus haut.

Quand le plan CC^ se déplacera d'une manière continue, cet onduloïde se déformera d'une manière continue.

Quand C est très voisin de A, cet onduloïde diffère très peu du cylindre; en diffère-t-il encore très peu quand le point C vient en B ?

Pour nous en rendre compte, voici comment il faut raisonner:

Mettons l'équation de la courbe AMB sous la forme

; étant infiniment petit, et /", fini.

Les fonctions ^ et '| définies plus haut dépendant aussi de

l et de l'abscisse a^j du point C, les équations qui définissent

a et !3 pourront se mettre sous la forme

cp (a, p, f, x^) = o «f (a, S, l, x.^) = o

CAPILLARITK.

Eliminons p entre ces deux équations, nous aurons

0 (a, ^, CC2) = o.

Si nous regardons un instant a, ^ et x^ comme les coordonnées rectangulaires d'un point dans l'espace, cette équation représente une surface. Cette surface passe par la

FiG. 41.

droite a = o, ^ = o qui est la droite RST de la figure 41. Pour a = ^ = o, a?2 = 27ra, le déterminant

c7cp d'\t d'S) d<i da. c/p dp d<x

s'annule, ce qui veut dire qu'au point S qui a pour coordonnées 0, o et 27ra, le plan ; =• o est tangent à la surface. Ce plan coupe donc la surface suivant une courbe présentant un point double en S et qui se décomposera, par conséquent, en la droite RST et une courbe USV passant par S.

Si nous coupons maintenant la surface par un plan l =^ Iq

(çq élant très petit), nous obi iendrons deux branches de courbe R'S'V, U'T' marquées en pointillé sur la figure.

Quand le point C se déplacera d'une manière continue, le point (a, S, ^a) décrira la branche R'S'V d'un mouvement continu; on voit que, tant que X2 est plus petit que 2-a, ce point décrivant R'S' reste très voisin de la droite RST et l'onduloïde correspondant très voisin du cylindre. Quand x^ devient plus grand que 2-a, notre point décrit S'T' et s'éloigne de la droite KST, c'est-à-dire que l'onduloïde correspondant ne reste pas très peu différent du cylindre.

Si donc AB est plus petit que 'È-xa, l'onduloïde, dans sa déformation continue, se réduira au cylindre (dont il ne se sera jamais beaucoup éloigné), quand le point C viendra en B.

Mais il n'en sera plus de môme si AB est plus grand que 27ta.

47. Théorème. — Si la hauteur d'un cylindre circulaire droit est plus petite que la circonférence des bases, la sur-

face latérale de ce cylindre est plus petite que celle de tout solide de révolution de même volume et de mêmes bases.

Soient AB {/îg. 43) la génératrice du cylindre, AMB le méridien de la surface de révolution. Prenons un point C quelconque sur ce méridien. Nous pouvons, d'après le lomme

précédent, tracer un arc d'onduloïde APC tel que le volume engendré par A^PCC^ soit égal au volume engendré par A^AMCC,. Supposons qu'on ait démontré que la surface de cet onduloïde est plus petite que celle de ce dernier volume et démontrons que, si l'on considère un point C de AMC'B infiniment voisin de C, l'onduloïde s'appuyant sur les cercles de rayons AA^ et C'C(, et qui a même volume que le solide engendré par AA,MC'C,', a aussi une surface moindre que ce dernier solide.

En effet, soit AQC l'arc du second onduloïde. Si nous menons en C la normale CC" à cet arc, nous avons deux arcs d'onduloïdes APC et AQC" ayant une extrémité commune A et limités, d'autre part, par une normale à l'un d'eux. De plus, les volumes limités par les surfaces qu'engendrent ces arcs sont égaux, car on a

volume A^AMC'C; = volume A,AQC'C;,

et, puisque la surface du triangle CCC" est infiniment petite du second ordre, il vient, en négligeant les volumes infiniment petits de cet ordre

volume A,AMCC, = volume A,AQC"C",,

ou encore

volume A,APCC, = volume A^AQC"Cî,

les volumes des solides engendrés par A, AMCC, etA,APCC, étant égaux par hypothèses.

Les deux arcs d'onduloïdes APC et AQC" remplissent donc les conditions de l'énoncé du lemme 1. Par suite, les surfaces qu'ils engendrent sont égales aux infiniment petits

près du second ordre (CC étant du premier)

surf. APC = surf. AQC".

Si, comme nous l'avons admis, on a

surf. APC < surf. AMC, il vient

surf. AQC" < surf. AMC.

Aux deux membres de cette inégalité ajoutons ceux de la suivante

surf. C'C < surf. CC

résultant de ce que, la droite CC" étant normale en C" à Tare AQC, l'élément d'arc CC" est plus petit (|ue l'élément CC; on obtient

surf. AQC < surf. AMC.

Ainsi, s'il est vrai que l'arc d'onduloïde joignant A à un point quelconque C de la courbe AMCB engendre une surface plus petite que cet arc, les volumes limités respectivement par ces surfaces étant égaux, cette propriété est encore exacte quand on passe de C en un point voisin C.

Le théorème est évidemment vrai pour un onduloïde de hauteur infiniment petite. En déplaçant peu à peu le point C on arrive en B. Or, l'onduloïde qui passe par A et B, et qui a même volume que le solide engendré par la courbe AMCB, se réduit au cylindre de révolution. Par conséquent, *a surface de ce cylindre est plus petite que celle d'un vo- 1 ume quelconque de révolution ayant mêmes bases et même volume.

Je viens de dire que, quand le point C vient en B, l'onduloïde se réduit au cylindre.

Cela est vrai, en verfu du lemme II, si AMB s'éloigne peu de la droite AB et si la hauteur AB du cylindre est plus petite que Sira, c'est-à-dire que la circonférence de base.

Ainsi le cylindre de révohil ion, dont la hauteur est plus "petite que cette circonférence est une figure d'équilibre stable.

Si la hauteur du cylindre devient plus grande, les conditions de l'énoncé du second lemme ne sont plus satisfaites; l'analyse de Plateau nous apprend alors que l'équilibre du cylindre est instable.

48. Gouttes d'huile en rotation. — Lorsqu'une goutte d'huile est suspendue dans un liquide de même densité sans être en contact avec des supports solides, la condition d'équilibre de cette goutte s'obtient en faisant S = S, = o dans l'équation d'équilibre trouvée au § 36 ; on a donc

ce qui exprime que la surface de contact de l'huile et de l'alcool doit être aussi petite que possible.

Parmi les solides de même volume, la sphère satisfait à cette condition, et l'expérience montre, en effet, qu'une goutte d'huile, en équilibre au sein d'un liquide de même densité, affecte la forme sphérique.

Si l'on fait tourner la goutte autour d'un axe passant par son centre, la sphère se déforme et se transforme en solides de révolution plus ou moins aplatis, auxquels on donne le