POTENTIEL D UN VOLUME QUELCONQUE

un plan infiniment voisin. Ce fuseau diffère infiniment peu du fuseau de même angle de la surface de révolution engendrée par la rotation de l'intersection de la surface S par le plan n. Les potentiels de ces fuseaux peuvent donc être confondus. Par conséquent, d'après la formule (4), le potentiel de F est

Le potentiel du volume limité par la surface 2 est donc

ou en remplaçant ^ par sa valeur

(f'j, — — *-^ / COS^cpo^o ~ I sm-a,r/-i,

cl en effectuant les intégrations

Mais, si dans l'expression de rr nous faisons cp = o, puis

o = ^' nous obtenons pour les courbures principales

Par conséquent, nous pouvons écrire

formule qui montre que le potentiel en un point ne dépend que de la distance de ce point à la surface et de la courbure moyenne au pôle.

7. Équations d'équilibre d'un fluide. — Pour trouver les lois de la capillarité, il ne reste plus qu'à appliquer les principes généraux de l'hydrostatique.

Rappelons que, si on appelle p la pression en un point X, y, z \ X, Y, Z les composantes des forces extérieures s'exerçant sur l'unité de masse placée en ce point, on obtient les équations fondamentales

dx ' dy ' dz '

en écrivant qu'un élément de volume est en équilibre sous l'influence des forces qui agissent sur lui.

Dans le cas particulier qui nous occupe, les forces extérieures sont de deux sortes : les forces capillaires et les forces s'exerçant à distance sensible. Nous venons de voir que les premières admettent un potentiel V ; les secondes, en général, en admettent également un, que nous désignerons par W.

Les équations précédentes deviennent alors

dp dY dW dx dx dx

dp dy.çrw

dy dy ' dy dp dY dW^ dz dz dz

Nous en déduisons

p = V -j- W + const..