R, = MC = T ' K, = MN
rfcp ' COS cp
et l'équation de la surface devient
ce qui donne
C?cp COS cp 2 ! n
as r
d'l> , COS C& a t n
pour l'équation de son méridien situé dans le plan des xy. Comme on a
dy = — ds sin cp,
cette équation peut s'écrire
— sin cp o?cû , COS cû
cp acû , COS Cû , I o
dy y
OU
d cos a» , cos cp « , „
dy ' y - I f
Pour l'intégrer, remarquons que, si le second membre est nul, la solution est
cos CD = —
G étant une constante. Appliquons maintenant la méthode de variation des constantes. Il vient
d'où
et par conséquent
cos^=^ = Jy'+|2/ + J;
Mais on a
dx = dy cotg cp.
En éliminant ç entre ces deux relations on obtiendra l'équation de la courbe méridienne en coordonnées rectangulaires. De la première on déduit
et par suite
GOUTTES d'huile EN ROTATION donc on a pour l'équation cherchée
Cdy
C étant la fonction de y définie par l'égalité (1).
La courbe représentée par cette équation peut être, suivant les valeurs des constantes qui y entrent, ou bien une courbe fermée aplatie dans le voisinage de l'axe de rotation, ou bien formée de deux courbes fermées symétriques par
Fio. 44.
FlG.
rapporta l'axe de rotation. Le premier cas {/ïg. 44) correspond à une faible vitesse de rotation, et le volume engendré est un sphéroïde; le second {fïg. 45), à une vitesse de rotation considérable, et la masse d'huile forme un anneau.
La courbe admet évidemment l'axe des x comme axe de symétrie; mais elle admet également un autre axe de symétrie perpendiculaire au premier et qu'on peut prendre pour axe des y.
Les points où la courbe coupe l'axe des y sont les racines
de l'équation
Cette remarque suffit pour permettre la discussion du problème; Plateau a observé que, quand on fait croître la vitesse de rotation, la masse, d'abord unique, se décompose en une masse centrale et une masse annulaire. La scission s'opère au moment où l'équation (3) a deux racines ég-ales.
Quand la courbe est unique et coupée par l'axe, la détermination des constantes d'intégration de l'égalité (2) est toujours possible. II n'en est pas de même quand l'axe de rotation ne rencontre pas la courbe.
49. Plateau est parvenu à établir expérimentalement la forme sphéroïdale et la forme en anneau. 11 a constaté que cette dernière est une forme d'équilibre stable. La démonstration théorique de la stabilité de l'équilibre des anneaux offrirait de sérieuses difficultés mathématiques, l'intégrale de l'équation (2) étant hyperelliptique.
Remarquons, d'ailleurs, que, dans le cas d'un corps animé d'un mouvement de rotation, il n'est pas nécessaire que l'énergie potentielle du système passe par un minimum pour que l'équilibre soit stable. Le théorème de Dirichlet suppose, en effet, que les axes auxquels sont rapportés les points du corps sont en repos.
Quand ces axes tournent, il faut, dans les équations d'équilibre, introduire la force composée définie par le théorème deCoriolis, et la condition d'équilibre de Dirichlet, toujours suffisante, n'est plus nécessaire pour la stabilité.
Faisons également observer que les figures d'équilibre .d'une goutte d'huile en rotation ne sont nullement compa-
