SYSTEMES LAMINAIRES FERMES

rables à celles des planètes, bien que cette opinion soit très répandue. Pour qu'il en soit ainsi, il faudrait que l'attraction newtonienne obéisse aux mêmes lois que la force capillaire, ce qui n'est pas. Il paraît même probable que les figures annulaires, stables pour les phénomènes capillaires d'après les expériences de Plateau, sont instables dans le cas de 1 attraction newtonienne.

50. Systèmes laminaires fermés. — En plongeant dans un liquide un cadre de fils métalliques, on peut, dans certains cas, obtenir un système de lames minces limitant de toutes parts une certaine masse d'air. Les surfaces d'équilibre de ces lames, que Plateau a étudiées expérimentalement, ne diffèrent pas, comme nous allons le montrer, des surfaces d'équilibre d'une goutte d'huile placée dans de l'eau alcoolisée de même densité.

Considérons, en effet, le système formé par les lames et la masse d'air qu'elles enferment, et donnons-lui une déformation virtuelle infiniment petite à partir d'une position d'équilibre.

Le travail de la pesanteur çVoz peut être négligé, car^ d'une part, la masse du liquide formant les lames est très petite, ces lames étant très minces, et, d'autre part, la masse de l'air enfermé est également petite, l'air ayant une très faible densité; par suite, U est très petit.

En appelant i] l'aire totale des faces des lames en contact avec l'air extérieur, l'aire des faces en contact avec l'air intérieur est très sensiblement S, les deux faces d'une même lame étant très voisines et pouvant être regardées comme parallèles. Le travail des forces capillaires résultant d'une

variation c^S de cette aire est donc

9, étant la fonction relative à l'action des molécules liquides sur elles-mêmes.

Si, en même temps, la surface de contact du liquide et du cadre variait, nous aurions à tenir compte du travail des forces capillaires résultant de cette variation. Mais, cette surface étant proportionnelle à l'épaisseur des lames, elle est très petite, et sa variation peut être négligée.

Il ne reste donc que le travail — b^ d'S,. A ce travail il faut ajouter celui des pressions. Si nous appelons p^ la pression de l'air extérieur, p celle de l'air intérieur, le travail des pressions intérieures est p dY\ et celui des pressions extérieures — p^ dY, dY' étant la variation du volume limité par les faces intérieures des lames, o?V la variation du volume limité par les faces extérieures. Ces faces étant parallèles et très voisines, dY et dY' diffèrent infiniment peu, et l'on a pour le travail total des pressions

{p —pf,}dY.

La condition d'équilibre du système est donc

- 6, c/S + (p - p,) dY = o.

Mais nous avons trouvé (21)

oJS = / X fj^ + ~\ da -\-Jl cotgcp ds,

et, d'autre part, pour la variation du volume limité par les