SYSTÈMES LAMINAIRES FERMES

faces extérieures

d\ -zfdo.

Il vient donc

h^^P-P,- Q. (î^ + îfj f^^ - ^Uf^^ cotgcp ds = 0,

et, comme cette relation doit être satisfaite, quelle que soit la déformation, il faut que l'on ait séparément

TT

cotgcp =0, ? = 2

Les pressions intérieures et extérieures étant uniformes, la pesanteur de l'air étant négligée, la première de ces conditions exprime que la courbure moyenne des surfaces des lames doit être constante. C'est l'une des conditions trouvées au n" 36 pour l'équilibre d'une goutte d'huile de même densité.

La condition <f = â paraît plus restrictive que la condition ep = const. trouvée dans ce dernier cas. Mais, en réalité, elles deviennent identiques, si l'on remarque qu'elles se réduisent en définitive à exprimer que les surfaces de la goutte d'huile ou des lames doivent passer par les fils métalliques de la carcasse ou par les bords des disques.

Les surfaces d'équilibre des lames formant un système fermé de toutes parts sont donc bien celles d'une goutte d'huile placée dans un liquide de même densité.

En particulier, si l'on forme une bulle de savon passant

par les contours de deux anneaux parallèles et de même rayon, en fil métallique, on doit obtenir comme figures d'équilibre, suivant les cas. l'onduloîde, le cylindre droit, le nodoïde et le cathénoïde. C'est ce qui a été observé par Plateau.

51. Bulles de savon. — Parmi les surfaces à courbure moyenne constante, la plus simple est celle de la sphère. L'expérience montre que c'est cette forme que prend une lame fermée ne touchant aucune paroi solide.

Peut-être y a-t-il d'autres surfaces d'équilibre répondant à ce cas, car la condition d'équilibre

— Ô< c/S -{- (p — j^o) dY =^ o

n'indique pas que, comme dans le cas de la goutte d'huile librement suspendue dans un liquide de même densité, l'aire de la surface doive être minimum. On a tenté de prouver qu'il n'y en a pas d'autre, mais les démonstrations proposées laissent à désirer.

Quoi qu'il en soit, dans le cas d'une sphère de rayon R, nous devrons avoir pour la différence des pressions de l'air intérieur et de l'air extérieur

29, P —Po = -^

Cette différence est positive, et elle est d'autant plus grande que la bulle est plus petite. C'est ce qui a été vérifié en mesurant cette différence de pression avec un manomètre très sensible.

Considérons deux bulles accolées. Elles se coupent sui-