Lames se coupant suivant une même arête
Cette propriété des bulles de se couper toujours de telle sorte qu'il n'y ait jamais plus de trois surfaces passant par une même arête s'observe également lorsque les lames sont planes.
En plongeant dans le liquide glycérique un cadre tétraédrique ahcd ifig. 47), Plateau a obtenu un système laminaire
formé de dix lames planes, quatre d'entre elles constituant les faces du tétraèdre, les six autres s 'appuyant sur les arêtes de ce tétraèdre et se coupant de telle sorte que chacune des droites oa,
FiG. 47.
FiG. 48.
oh, oc, od appartienne à trois lames. Les angles dièdres formés par les lames, se coupant suivant l'une de ces arêtes,
sont nécessairement égaux entre eux et à 120° pour que les tensions superficielles s'équilibrent.
Avec un cadre dont les fils forment les arêtes d'un cube, on obtient les lames liquides représentées par la figure 48, qui se coupent trois par trois, suivant les arêtes liquides àbcd et suivant les arêtes du cube.
Ce système laminaire est beaucoup plus compliqué que celui qui serait formé des quatre faces du cube et de ses plans diagonaux, et qui semble devoir se former par suite de la symétrie du cube. Mais il est facile de voir qu'un tel système ne peut exister dans l'état d'équilibre stable.
Prenons des charpentes plus simples que celle de Plateau, formées de deux planchettes de bois parallèles, reliées par des fils de fer normaux à ces planchettes. Nous obtiendrons,
FiG. 49.
FiG. 50.
en plongeant ces charpentes dans un liquide, un système de lames planes s'appuyant sur les fils de fer et normales aux planchettes. S'il n'y a que trois fils a, è, c [figJ^^]^ nous aurons six lames, trois formant les faces d'un prisme triangulaire, les trois autres représentées par oa. oh, oc, se coupant suivant une même arête o, en faisant entre elles des dièdres de 120°.
LAMES SE COUPANT sriVANT UNE MEME ARETE 133
Si nous prenons une charpente ayant quatre fils formant les arêtes d'un prisme droit à base carrée, nous ne pourrons jamais obtenir le système laminaire représenté par la figure oO et qui comprend les plans diagonaux du prisme.
Cette impossibilité provient de ce qu'un tel système n'est pas en équilibre stable. Montrons-le.
Les lames étant planes, les rayons de courbure sont infinis, et la différence des pressions des deux côtés d'une lame est nulle. Par conséquent, dans un déplacement infiniment petit, les travaux se réduisent à ceux des forces capillaires, — 6^ c?S; pour qu'il y ait équilibre, il faut que cette expression soit nulle, et, pour que cet équilibre soit stable, il faut que 6,1! passe par un maximum, c'est-à-dire que S soit un minimum.
Or, si Ton suppose que le système précédent se déforme de telle sorte que les deux lames ao et do viennent en ao (*) et do\ et qu'une nouvelle lame se forme de o en o', la somme des surfaces de ces trois lames est plus petite que la somme des surfaces des deux lames primitives.' En effet, si nous abaissons de o la perpendiculaire o'f sur oa, nous avons
fo = oo' cos /bo' ou
oo'
puisque l'angle /'oo' est voisin de 45". D'autre part, l'angle fao' étant infiniment petit, on a sensiblement
af = ao'
{') Sur la figure la leltre a a été uiise, par erreur, pour o'.
et par suite
«/■ 4- /b > aê' + ~y
ou
ao > ao -f- — •
On trouverait de même
do y do -}- —1 et l'on obtient
ao -{- do > ao' -\- do' -\- o6 .
Il en résulte que, dans le système laminaire contenant les plans diagonaux du prisme, la somme des surfaces des lames n'est pas minimum. Ce système ne peut donc correspondre à un état d'équilibre stable.
