CHAPITRE V

Dans les deux chapitres qui précèdent, le travail de la pesanteur disparaissait des équations d'équilibre, soit parce qu'il était négligeable vis-à-vis des travaux des forces capillaires, soit parce qu'il était nul. Nous allons maintenant passer à l'étude de quelques problèmes où l'action de la pesanteur intervient dans les équations d'équilibre. Les plus importants sont les problèmes relatifs à l'équilibre des liquides superposés, à la figure d'équilibre d'une goutte placée sur un plan horizontal et à l'attraction ou la répulsion de deux parois verticales plongées dans un liquide.

53. Équilibre d'une goutte liquide reposant sur un liquide plus dense. — Soit ABCD la goutte {fig. 51). Désignons par S sa surface libre ABC ; par S', sa surface de contact ADC avec le liquide plus dense sur lequel elle repose; par S", la surface libre de ce dernier liquide; et par

^j ^r' -5-' les tensions superficielles sur ces surfaces. Le

travail des forces capillaires résultant d'une déformation virtuelle de la goutte a pour expression

Jusqu'ici nous ne considérions qu'un seul fluide et nous prenions la densité de ce fluide pour unité. Dans le cas qui nous occupe, appelons p la densité du liquide inférieur, et p^

celle du liquide qui forme la goutte. Si nous désignons par U et U^ les volumes respectifs de ces liquides, et par Z et Z< les distances de leurs centres de gravité au plan des xy^ nous aurons, pour le travail de la pesanteur, l'axe des z étant supposé dirigé vers le bas,

5rpU8Z + ^p,U,8Z,.

Par conséquent la condition d'équilibre est

^pUSZ +^p,U,8Z, - I 8S - I BS' - I 8S" = o, (1)

à laquelle il faut joindre les deux équations de liaison

qui expriment que les volumes des liquides ne changent pas.

Pour transformer ces équations, considérons les nouvelles

positions S, S', S" des surfaces S, S', S" [fig. 52). Si par

chacun des points des surfaces primitives nous menons des