EQUILIBRE D UNE GOUTTE LIQUIDE
normales à ces surfaces, les longueurs À de ces nornnales comprises entre ces surfaces et celles qui résultent de leur déformation détermineront ces dernières. En appelant d<t l'aire d'un élément de S, nous avons pour la variation de cette surface (n» 21)
^^ ^ / ' (r "^ R~) ^'^ '^S'^ ^^^ cotgç,
ds étant un élément de la courbe de raccordement, et o Tangle de la droite CF, joignant deux positions d'un point de cette
FiG. 32.
courbe, avec la tangente en F à la surface déformée. D'autre part, le triangle CHF, où CH est la normale à S, est sensiblement rectangle en H, et nous avons la relation
CH = CF sin HFC.
ou
X = u. sincp,
u. désignant la longueur CF. Par conséquent, nous pouvons écrire
8S = I X i^-\-^\d^-\-ji>.ds cos 5.
138 PROBLÈMES OU LA PESANTEUR INTERVIENT Nous trouverions de même pour les autres variations
SS" = / ^ ( 07/ H~ 07 ) ^<^' + / F*- ^-^ cos cp".
Pour calculer 8U<, remarquons que, si la surface S se déformait seule, nous aurions pour la variation de volume
Cl f/ff.
Mais, puisque la surface S' se déforme en même temps, on a
8U, = I^A d<y — Cl f/i'.
De même, on obtient
SU =Cl dry' 4- Cl rfd".
Les volumes étant invariables, on peut écrire
U^oZ, = 8U,Z, = Iz ds — I Iz d<s\
8UZ — A^^ dn' -j- Clz d<s",
les derniers membres de ces égalités exprimant que la variation du moment du poids du liquide par rapport au plan des xy est égal à la somme des moments, par rapport au même plan, des poids de leurs éléments.
ÉQUILIBRE d'une GOUTTE LIQUIDE 139
L'équation d'équilibre devient donc
et les conditions de liaison
J\ ch — fl ds' = o 1
Cl dfi' -i-fl d's" = o ]
54. L'équation (3) doit avoir lieu quel que soit )., pourvu que 1 satisfasse à (4) ; elle aura donc lieu en particulier, si l'on a
Ça da = 0, fl da' =0, Jl d^" = o (5)
ce qui exige que l'on ait
''P'^ = 2lS + it> + P
•^ cos (p 4- — cos cp -1- -^ cos cp = o
s, p', ,8" étant des constantes.
Mais, pour qu'il y ait équilibre, l'équation (3) doit être satisfaite, quel que soit le déplacement, pourvu qu'il soit
compatible avec les liaisons ; elle doit dune être satisfaite quand même les conditions (5) ne le seraient pas, pourvu que les égalités (i) le soient.
Mais, si nous tenons compte des conditions (6), l'équation (3) se réduira à
S Cl da -f p' Cl cW 4- p" fx dz" = o
ou, en tenant compte des équations de liaison (4),
Pour qu'elle soit satisfaite pour des valeurs de l'intégrale différentes de zéro, il faut et il suffit que
Telle est la nouvelle condition qu'il faut joindre aux conditions (6) pour qu'il y ait équilibre. '
Les trois premières des équations (6) sont respectivement les équations des surfaces S, S', S". La quatrième exprime que les projections des tensions au point C sur la droite CF est nulle, puisque cp, cp',cp" sont les angles de cette droite avec les tangentes menées par F dans le plan normal en ce point à la courbe d'intersection. Comme la direction de CF est arbitraire, cette équation exprime que les trois tensions en C doivent se faire équilibre.
Cette condition permet de trouver les angles de raccordement des trois surfaces, quand on connaît les valeurs des tensions. Il suffît pour cela de construire un triangle dont les côtés sont égaux aux tensions. Un des angles de ce triangle
LigiIDES SUPERPOSES DANS UN TUBE CAPILLAIRE 141
et les suppléments des deux autres sont les angles de raccordement.
Il peut se faire que les valeurs des tensions soient telles que la construction du triangle devienne impossible. Dans ce cas, il n'y a pas équilibre, l'une des conditions de l'équilibre n'étant pas satisfaite, et le liquide surnageant s'étend indéfiniment sur la surface du liquide le plus dense.
C'est ce qui arrive pour une goutte d'huile d'olive placée sur la surface libre de l'eau. La tension superficielle deriiuile en contact avec l'air étant égale à 37 dynes, celle de l'huile en contact avec l'eau à 21 dynes, et enfin celle de l'eau avec l'air ayant pour valeur 81, l'un des côtés du triangle est plus grand que la somme des deux autres, car
et l'équilibre ne peut se produire.
Cependant, si la goutte d'huile est de faible volume et la surface de l'eau suffisamment grande, on constate que la goutte dhuile cesse de s'étaler avant d'atteindre les parois du vase. Il y a donc un état d'équilibre. Mais ce fait n'infirme pas la théorie, car celle-ci suppose que la distance des surfaces S et S', qui limitent l'huile, est supérieure au rayon d'activité moléculaire, ce qui cesse d'avoir lieu quand la goutte d'huile est suffisamment étalée.
55. Liquides superposés contenus dans un tube capillaire. — Soient, comme précédemment, S [fig. 53) la surface libre du liquide le moins dense; S', sa surface de contact avec le liquide inférieur ; S", la surface libre de ce der-
h fi ^ h'^
nier liquide; -^' ij' :^' les tensions superficielles sur ces sur-
faces. Introduisons, en outre, les surfaces de contact S, et S| du tube avec le liquide supérieur et le liquide inférieur, ainsi que les coefficients que j'ai appelés
dans les chapitres i et ii, mais que j'appellerai ■/), et •/)( désormais, afin d'abréger l'écriture, changeant ainsi le sens des notations employées jusqu'à présent.
FiG. 53.
Pour un déplacement virtuel du liquide intérieur au tube, le travail des forces capillaires est
8S' + -^,8S,-{-'^;ss;,
On a encore
8S = I X (I + ^) c/a +fl ds cotgcp
«p et cp' étant les angles de raccordement des liquides et du tube.
LIQUIDES SUPERPOSKS DANS UN TUBE CAPILLAIRK 143
Si la surface S se déformait seule, la variation de S, serait, d'après une formule précédemment trouvée
I À ds , / sinç'
mais, comme S' se déforme en même temps, on a
J.O / À ds I À ds
' / sin * / sin ç
et
/ sm©
Portons ces valeurs de SS, SS', oS,, 5S,' dans l'expression du travail des forces capillaires. Il vient
Le travail de la pesanteur est
^pU5Z -f- i^p,U,8Z, = gcjlz d(s' -f gpfj).2d<s — gç^Çlzd<s\
comme il est facile de le voir, d'après ce qui a été dit au n° 53. En écrivant que la somme de ces travaux est nulle nous obtenons la condition d'équilibre
+ r>/3i— ^COtgcpV^+^f-^,- ^,--î:COi^Ads=0 il)
J \smcp 2 ^7 'J Vsin*' sina)' 2 °^/ ^'
144 PROBLÈMES OU LA PESANTEUR INTERVIENT à laquelle nous devons joindre l'équation de liaison
8U< = Cl de — fl d<7' = o,
qui exprime que le volume du liquide compris entre les surfaces S et S' demeure constant.
L'équation (7) étant de la même forme que l'équation (3), elle conduit à des équations analogues à celles déjà trouvées, c'est-à-dire à
où p et p' sont des constantes, et à
— -^cotg^ = o, I
smcp
-^^^-. — -r^ — -^ COtgcp = O. ] sm cp sm cp 2 *^ ' I
Les équations (8) sont les équations des surfaces S et S'. Les constantes ^ et p' ne sont pas indépendantes, car, si les équations (8) et (9) sont satisfaites, l'équation (7) ne l'est que si l'on a
i^-hP' = o (10)
Les équations (9} peuvent s'écrire
■1< = 9 COSCp,
■ni — '^t = ^ COScp,
LIQUIDES SUPERPOSES DANS UN TUBE CAPILLAIRE 145 d'où l'on déduit
A fi '
T,; = -^coscp-{--^ COSf.
Si le liquide le plus dense était seul dans le tube on aurait
une relation analogue à la précédente, mais dont le second
membre ne contiendrait qu'un seul terme. En appelant cp"
l'angle de raccordement de la surface du tube et de la sur-
6" face du liquide le plus dense supposé seul dans le tube, et -^
la tension superficielle de la surface du contact de ce liquide et de l'air, on a donc
■*ll = -f coscp , et, par conséquent,
-^ cos cp = -^ cos cp + -^ cos cp , (11)
Telle est la relation d'équilibre entre les trois tensions et les trois angles de raccordement.
56. Proposons-nous de calculer le poids du liquide situé dans le tube au-dessus du plan horizontal passant par la surface libre du liquide le plus dense à une grande distance des parois solides, plan que nous pouvons prendre pour plan des yx.
Le volume du liquide inférieur est
U = — j z dx dy.
et celui qui est compris entre le plan des xy et la surface
146 PROBLÈMES OU LA PESANTEUR INTERVIENT libre S est
U-f-U, =—Jzdxdy.
Si nous tenons compte des équations (8) qui donnent les valeurs de z pour les deux surfaces S et S', il vient
^ (p - P,) u := - r[| (^, + ïï;) + ^'] '^^'^^'
^p, (U + U.) = - r[| (i + i-) + p] dœdy.
Or on a
g (p - pj U +^p, (U + U,) =^pU-f ^'P.U,.
Le second membre de cette égalité est précisément le poids des liquides contenus dans le tube capillaire au-dessus du plan des ccy. Nous avons donc pour ce poids
P=-/'[l(s+ïï;)+P]<'-''^-/[l(ff'+îf;)+P]''-''^
mais, au n° 12, nous avons démontré que
1 1 / dl dm
i et m étant les cosinus de la normale à la surface libre avec les axes des oc et des y, et qu'on avait
dl , dni\ ,
-; — — \ axdy = s cos œ
dx ' dy J ^
s étant 1a longueur de la courbe d'intersection de la surface
SURFACE d'un LIQUIDE 147
intérieure du tube avec un plan de section droite. Par conséquent
P = ^ S COS (p + pQ 4- ^ 5 COS tp' -f fl'Q
û étant de la section droite du tube. Par suite de la relation (10) entre 8 et p', cette expression se réduit à
P = ^ S COS cp -|- -^ 5 cos <I>',
que l'on peut encore écrire, à cause de la relation (11),
fi" P = -^ s COS cp".
Or cette dernière expression est celle du poids du liquide soulevé dans un tube capillaire vertical plongeant dans le liquide le plus dense, la surface de ce liquide dans le tube étant en contact avec l'air. Nous arrivons donc à cette conclusion que le poids du liquide soulevé dans un tube capillaire contenant deux liquides superposés ne dépend que du liquide inférieur.
57. Surface d'un liquide dans le voisinage d'une lame plane verticale. — Si cette lame L {/ïg. 54) est suffisamment large nous pouvons regarder les surfaces ABC, A'B'C'du liquide, de part et d'autre de la lame, comme étant cylindriques. L'équation générale de la surface ABC
se réduit alors à
l'un des rayons de courbure devenant infini.
Prenons pour plan des xy le plan horizontal passant par la surface libre du liquide à une distance considérable de la
FiG. 54.
lame. On doit avoir z ■= o pour H =x ; par suite, p est nul. Si nous posons, pour simplifier,
il vient pour l'équation de la surface ABC
FiG. S5.
Considérons un point M de cette surface {fig. 55) et menons la parallèle PM à l'axe de z qui passe par ce point, ainsi que la normale MC.
L'angle de ces deux directions étant désig-né par a, nous avons pour la valeur du rayon de courbure MC,
les arcs 5 étant comptés positivement dans le sens de la
